Konvergenz einer Rekursiven Folge

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hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Rekursiven Folge
Hallo,
wie zeige ich dass eine rekursive Folge konvergent ist und wie kann ich ihren Grenzwert berechnen? Die Folge ist:

Nur leider habe ich überhaupt keine Idee, was ich bei einer Rekursiven Folge machen muss. Ich habe gelesen, dass zur Berechnung des Grenzwertes an=an+1 gesetzt werden muss, nur bringt das hier nicht den gewünschten Erfolg.

Gruß Matthias
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du sicher, dass diese Folge konvergiert? Soll sie das tun? Ich denke nämlich nicht, dass sie konvergiert ...

Bei rekursiven Folgen müsste man zur Konvergenz zeigen, dass sie monoton und beschränkt sind. Monotonie klappt noch ganz gut, aber mit der Beschränktheit gibt es Probleme, denke ich.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge konvergiert gegen 5/3.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe durch Probieren eine explizite Darstellung der Folge gefunden:

Hier wäre es ahrscheinlich einfacher Beschränktheit und Monotonie zu zeigen. Jedoch müsste ich erst auch noch zeigen, dass die rekursive und explizite Folge gleich sind?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hydendyden
Jedoch müsste ich erst auch noch zeigen, dass die rekursive und explizite Folge gleich sind?


Ja.
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChrisB
Bei rekursiven Folgen müsste man zur Konvergenz zeigen, dass sie monoton und beschränkt sind. Monotonie klappt noch ganz gut, aber mit der Beschränktheit gibt es Probleme, denke ich.


Beschränkt heit ist absolut kein Problem - dazu reicht die rekursive Bildungsvorschrift:



Man sieht, dass jede Zahl das arithmetische mittel der beiden Vorgänger ist. Es gilt:


Damit sind automatisch und Schranken Augenzwinkern
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich. Aber wird im Grenzfall die Rekursionsvorschrift nicht zu

?

Dann hätte ich am liebsten mit der Eindeutigkeit des Grenzwertes argumentiert und gesagt, die Folge konvergiert nicht ... Wo ist denn da jetzt der Denkfehler?
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Du sagst, Montotonie klappe ganz gut. So wie ich das sehe, ist die Folge aber doch gar nicht monoton, oder? Die ersten Folgeglieder sind: 1 2 1,5 1,75 1,625...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht ... Hmmm, da bin ich auch jetzt ein wenig ratlos, wie man das jetzt machen könnte ... verwirrt
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChrisB
Du hast recht ... Hmmm, da bin ich auch jetzt ein wenig ratlos, wie man das jetzt machen könnte ... verwirrt


Weißt du wie man aus linearen Rekursionen die explizite Formel berechnen kann? (Stichwort: )
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss das, ja, aber die Frage ist, ob das auch hydendyden weiss. Ich bin nicht der Thread-Eröffner, falls du das denken solltest. Augenzwinkern
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich weiß nicht wie man die explizite Form berechnet. Würde es denn reichen, wenn ich über vollständige Induktion zeigen würde, dass die "geratene" explizite Form sich an jeder Stelle so verhält wie die die rekursive?
Gästling Auf diesen Beitrag antworten »

Als Tipp: Versucht es lieber als Cauchy-Folge zu zeigen, damit ist sie auch automatisch konvergent!
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