Integral - Seite 2

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29.09.2006, 13:36

Bjoern1982

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Ja, sollte jetzt hinkommen smile

29.09.2006, 13:37

klarsoweit

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Das ist jetzt die Fläche in Abhängigkeit von c. Davon mußt du das Maximum bestimmen.

29.09.2006, 13:43

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$\begin{eqnarray*} -\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\left(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\right)^3 +\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\frac{c}{c^2+1} +1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2}{3}+1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

richtig?

29.09.2006, 13:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\frac{c}{c^2+1} +1 \right) \end{eqnarray*}$

Und immer wieder locken die Klammern. ;
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c} \cdot (\frac{c}{c^2+1} +1) \right) \end{eqnarray*}$

EDIT: hatte einen Knick in der Optik. Hammer

Also einfach überlesen.

29.09.2006, 13:56

Calvin

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@klarsoweit

bist du dir sicher? Die Klammer in der ersten Zeile von PKs letztem Beitrag geht schon nach der Wurzel wieder zu. IMHO müsste PGs Ergebnis dann stimmen verwirrt

29.09.2006, 13:57

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\frac{c}{c^2+1} +1 \right) \end{eqnarray*}$

Und immer wieder locken die Klammern. ;
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c} \cdot (\frac{c}{c^2+1} +1) \right) \end{eqnarray*}$

wie? was ist mit den klammern? da muss diesmal alles bei mir richtig sein, weil ich habe das genauesten überprüft. warum setzt du die 1 mit in die klammer?

edit: @calvin
PG's ergebnis und nicht PK's haha smile

ihr seid echt cool

29.09.2006, 13:59

Calvin

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Zitat:

Original von PG
edit: @calvin
PG's ergebnis und nicht PK's haha smile

Mist, zu spät editiert *lol*

29.09.2006, 14:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
wie? was ist mit den klammern? da muss diesmal alles bei mir richtig sein, weil ich habe das genauesten überprüft. warum setzt du die 1 mit in die klammer?

Schau dir genau an, was übrig bleibt, wenn du die Wurzel ausklammerst. Augenzwinkern

EDIT: hatte einen Kick in der Optik. Hammer

Also einfach überlesen.

29.09.2006, 14:04

Bjoern1982

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Wenn man das hier mal kurz überfliegt und in Gedanken die obere Integralgrenze einsetzt und dann noch mit 2 multipliziert sollte aber etwas anderes rauskommen Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} H(x)=-\frac{1+c^2}{3c}x^3+x \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

29.09.2006, 14:14

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du hast recht björn Hammer

- ich glaube, ich mache die fehler aufgrund der unübersichtlichkeit...wieder von vorn Spam

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\int^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}_{0}~H(x)~\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(-\frac{1+c^2}{3c}\cdot(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}-0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\left(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\right)^3 +2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\frac{c}{c^2+1}+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot(\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

ich weiss ich weiss-noch ein fehler LOL Hammer

edit:beitrag von 15:31 ausversehn editiert... Hammer

29.09.2006, 14:20

Bjoern1982

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Oder du machst zu viel auf einmal beim Integrieren verwirrt

Ist immer noch nicht richtig...

Wenn du das damit nicht hinbekommst versuche doch mal nur den Abstand der beiden Schnittpunkte zu maximieren, das ist vielleicht weniger fehleranfällig da du dabei nicht integrieren musst.

Ich bekomme damit dasselbe Ergebnis raus, was natürlich kein Beweis dafür ist, dass die Idee stimmt, aber ich finde es eigentlich naheliegend.
Oder was meinst du klarsoweit?

Gruß Björn

29.09.2006, 14:23

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versuchen wir doch erst mit dem integral und danach würde ich auch gerne den anderen trick kennenlernen smile

was genau habe ich falsch gemacht?

29.09.2006, 14:28

Bjoern1982

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In Ordnung smile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(-\frac{1+c^2}{3c}\cdot(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}-0) \end{eqnarray*}$

Lass doch die 2 vor der Klammer erstmal in Ruhe und fasse in der Klammer entsprechend zusammen.
Die ersten beiden Faktoren in der Klammer kann man ja schonmal schön kürzen.

Hilft das weiter?

29.09.2006, 14:33

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot(-\frac{1}{3}\cdot\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(\frac{2}{3}\cdot\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\cdot\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

und nun?

29.09.2006, 14:33

Bjoern1982

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Jetzt stimmts Freude

29.09.2006, 14:42

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es läuft ja jetzt plötzlich reibungslos- aber eins muss ich erwähnen- durch die hilfe aller von euch, habe ich einiges neues gelernt und die aufgabe verstanden:

$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(c)=\frac{2\cdot(c^2+1-2c^2)}{3(c^2+1)^2\cdot\sqrt{{\frac{c}{c^2+1}}} } \end{eqnarray*}$

vorhin: $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_a=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

editiert: $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_a=\mathbb{R}~ ohne ~a<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=c^2+1-2c^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-c^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2=1 \end{eqnarray*}$

mal testen wie groß die fläche ist

ok $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ scheint nach der zeichnung richtig zu sein. warum gilt nicht $\begin{eqnarray*} c_2=-1 \end{eqnarray*}$ ?? woher merk ich das, ohne zu zeichnen und ohne einzusetzen? oder habe ich wieder einen fehler gemacht?

29.09.2006, 14:47

Bjoern1982

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Jup, sollte passen Freude

Edit:

Es reicht hier nur den Radikanten abzuleiten, weil der im Nenner entstehende Bruchterm eh bei der Nullstellenberechnung der Ableitungen nicht berücksichtigt wird.

Also um die zweite Ableitung zu bilden genügt es den Zähler deiner ersten Ableitung abzuleiten.

Gruß Björn

29.09.2006, 14:58

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Zitat:

Es reicht hier nur den Radikanten abzuleiten, weil der im Nenner entstehende Bruchterm eh bei der Nullstellenberechnung der Ableitungen nicht berücksichtigt wird.

Also um die zweite Ableitung zu bilden genügt es den Zähler deiner ersten Ableitung abzuleiten.

Gruß Björn

nein das stimmt nicht wegen definitionsbereich !

29.09.2006, 15:03

Bjoern1982

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Zitat:

nein das stimmt nicht wegen definitionsbereich !

Was hat das jetzt damit zu tun?

Zitat:

ok $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ scheint nach der zeichnung richtig zu sein. warum gilt nicht $\begin{eqnarray*} c_2=-1 \end{eqnarray*}$ ?? woher merk ich das, ohne zu zeichnen und ohne einzusetzen?

Für negative c's werden sich die Parabeln sowieso nicht schneiden, weswegen hier nur die Einschränkung c > 0 Sinn macht.

Ein anderer Beweis, warum nur c=1 in Frage kommt wäre eben das Einsetzen in die zweite Ableitung.
Du kannst gerne versuchen den komplizierten Bruchterm nochmal abzuleiten, wirst aber am Ende dasselbe Ergebnis erhalten, wenn du nur den Zähler des Bruchterms der 1. Ableitung ableitest.

Gruß Björn

29.09.2006, 15:07

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doch das mit dem definitionsbereich stimmt, Meister!!

es könnte ja auch sein, dass es bei 1 nicht definiert wäre, weil es dort einen loch hat oder eine polstelle, auf jedenfall eine definitionslücke!

habe ich recht oder nicht?

29.09.2006, 15:16

Bjoern1982

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Meiner Meinung nach nicht, weil hier doch nie die Gefahr besteht, dass solche Lücken entstehen wenn du eh von Anfang an nur den Radikanten ableitest.

Hattet ihr solche Aufgaben, wo man das so vereinfachen konnte nicht schonmal gehabt?

Bin zwar kein Mathelehrer, aber hier eigentlich ziemlich sicher.
Ansonsten frag nochmal die Moderatoren, wenn du magst.

Edit:

Und für c>0 wird der Radikant eh nie negativ, falls du darauf anspielst.

29.09.2006, 15:33

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ich weiss es echt nicht...
du könntest recht haben oder ich- da muss ein dritter mathebrain antworten.

nun zu der anderen methode- kannst du sie bitte näher erläutern, meister?

29.09.2006, 15:41

Bjoern1982

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Ich hoffe auch, dass einer der Moderatoren hier nochmal in den Thread schaut und alles aufklärt- kannst ja mal ne PN an jemanden schicken.

Mein Beharren auf meiner Meinung sollte jetzt auch nicht oberlehrerhaft wirken, ich fands nur irgendwie logisch.

Naja, mal abwarten - Hilfe kommt bestimmt smile

Nun zu dem anderen Weg:

Wenn du dir mal die Graphen anschaust sieht man ja, dass der Abstand zwischen den Scheitelpunkt beim ändern von c immer konstant bleibt, der Abstand der Schnittstellen der Graphen aber immer größer wird und dadurch meiner Meinung nach auch die Fläche zwischen den Parabeln.

Somit könnte man ja auch $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$ maximieren.

Aber wie gesagt, das soll lieber erstmal jemand absegnen Big Laugh

Gruß Björn

29.09.2006, 15:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
aber eins muss ich erwähnen- durch die hilfe aller von euch, habe ich einiges neues gelernt und die aufgabe verstanden:

Freut mich. Hatte zwischendurch leider einen Kick in der Optik. Bäume und Wald usw. Hoffentlich hat es nicht arg verwirrt.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

An der Formel ist klar zu erkennen, daß c > 0 sein muß. c=0 geht schon nicht wegen g(x).

Wenn man von A(c) das Maximum bestimmt, kann man dies auch von (A(c))2 machen. Der nützliche Trick erspart etwas Differentialrechnung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn du dir mal die Graphen anschaust sieht man ja, dass der Abstand zwischen den Scheitelpunkt beim ändern von c immer konstant bleibt, der Abstand der Schnittstellen der Graphen aber immer größer wird und dadurch meiner Meinung nach auch die Fläche zwischen den Parabeln.

Somit könnte man ja auch $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$ maximieren.

Aber wie gesagt, das soll lieber erstmal jemand absegnen Big Laugh

Hmm. Obwohl es vom Ergebnis her richtig ist, wäre ich da vorsichtig. Mit dem Abstand der Schnittstellen ändert sich auch das Aussehen der Funktionen. Ich habe jetzt kein Gegenbeispiel, aber ich denke, daß ich bestimmt eins konstruieren könnte.

29.09.2006, 15:52

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Somit könnte man ja auch $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$ maximieren.
Gruß Björn

wie willst du das maximieren? durch einsetzen probieren oder ableitung? und wie hast du den term bekommen?

29.09.2006, 15:54

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

meinst du ich soll es quadrieren? und danach? wie bist du darauf gekommen?

29.09.2006, 15:59

Bjoern1982

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Zitat:

wie willst du das maximieren? durch einsetzen probieren oder ableitung? und wie hast du den term bekommen?

Das muss man dann ja nach c ableiten.
Darauf gekommen bin ich einfach nur indem ich den Abstand der beiden Schnittpunkt von f und g bestimmt habe.

Zitat:

Ich habe jetzt kein Gegenbeispiel, aber ich denke, daß ich bestimmt eins konstruieren könnte.

Dass es für andere Funktionen Gegenbeispiele gibt ist klar, aber in diesem Fall müsste das doch aus symmetrischen Gründen und aufgrund der Tatsache, dass die Scheitelpunkte konstant bleiben, funktionieren...oder nicht?

Gruß Björn

29.09.2006, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
meinst du ich soll es quadrieren? und danach? wie bist du darauf gekommen?

Eigentlich nur logisches Nachdenken:

Wenn eine positive Funktion an einer Stelle maximal wird, dann auch das Quadrat der Funktion an der gleichen Stelle. Dasselbe gilt auch umgekehrt. Im übrigen kann man auch konstante Faktoren in der Funktion - also hier das 4/3 - bei der Extremwertbestimmung weglassen.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Dass es für andere Funktionen Gegenbeispiele gibt ist klar, aber in diesem Fall müsste das doch aus symmetrischen Gründen und aufgrund der Tatsache, dass die Scheitelpunkte konstant bleiben, funktionieren...oder nicht?

Gruß Björn

Ich denk mal drüber nach. Ich muß jetzt aber Rasen mähen. Augenzwinkern

29.09.2006, 16:02

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Also mit mir ist es geklärt- ihr könnt ruhig euer gespräch weiterführen Lehrer

BESTEN DANK AN ALLE!!

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