Integral

28.09.2006, 18:34

Integral

hi

es geht um folgende aufgabe:
die zwei parabeln $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{c}x^2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich. Durch welches c ist die fläche maximal?

kann mir jemand die rechenschritte erklären und ich versuchs dann.

die integranden habe ich schon( schnittstellen beider funktionen, indem man gleichsetzt)

28.09.2006, 18:57

Sunwater

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jetzt musst du rauskriegen welcher Kurve die obere ist...

dann musst du die Fläche unter der oberen Kurve durch integrieren berechnen und davon die Fläche der unteren Kurve abziehen.

das ganze ergibt dann irgendeinen Wert der von c abhängt.

das ist dein Flächeninhalt.

sie das ganze als Funktion an, also f(c) = A

von dieser Funktion musst du jetzt das Maximum bestimmen - also das c bei dem der Flächeninhalt am größten ist...

28.09.2006, 20:18

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$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f(x)-g(x)=H(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-1-2c}{3x}x^3+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int^{\sqrt{\frac{c}{2c+1}}}_{-\sqrt{\frac{c}{2c+1}}}\frac{-1-2c}{3x}x^3+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{-1-2c}{-3\sqrt{\frac{c}{2c+1}}}(-\sqrt{\frac{c}{2c+1}})^3-\sqrt{\frac{c}{2c+1}}-\frac{-1-2c}{3\sqrt{\frac{c}{2c+1}}}(\sqrt{\frac{c}{2c+1}})^3-\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=-\sqrt{\frac{c}{2c+1}}-\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=-2\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=-2\sqrt{c\cdot(2c+1)^{-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=-2(\frac{c}{2c+1})^{0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m'(x)=\frac{1}{(2c+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(c)=\frac{-\frac{1}{(2c+1)^{2}}}{\sqrt{\frac{c}{2c+1}}} \end{eqnarray*}$

hmm ich denke die ableitung stimmt nicht... wo ist fehler?

29.09.2006, 08:11

klarsoweit

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RE: Integral

Zitat:

Original von PG
die zwei parabeln $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{c}x^2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

Sehr verwirrend. verwirrt

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

Überprüfe nochmal deine Schnittstellen. Augenzwinkern

29.09.2006, 09:59

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RE: Integral

Zitat:

Original von PG
...die zwei parabeln $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{c}x^2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich...

Die Parabeln können sich niemals schneiden. Sie haben genau einen Berührungspunkt und der ist fix. *g

29.09.2006, 11:50

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RE: Integral

Zitat:

Original von Zahlentheorie

Zitat:

Original von PG
...die zwei parabeln $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{c}x^2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich...

Die Parabeln können sich niemals schneiden. Sie haben genau einen Berührungspunkt und der ist fix. *g

Und genau deshalb ist wohl das die richtige Variante

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

PG hat im Eröffnungsbeitrag ganz einfach geschlampt. Augenzwinkern

29.09.2006, 12:21

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RE: Integral

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

PG hat im Eröffnungsbeitrag ganz einfach geschlampt. Augenzwinkern

sehr gut bemerkt smile

war ein fehler meinerseits

$\begin{eqnarray*} cx^2=-\frac{1}{c}x^2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cx^2+\frac{1}{c}x^2 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2c+1}{c}x^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{c}{2c+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{c}{2c+1}} \end{eqnarray*}$

schnittstellen müssten richtig sein, klarsoweit

wo liegt dann der fehler?

29.09.2006, 12:29

Calvin

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RE: Integral

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} cx^2+\frac{1}{c}x^2 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2c+1}{c}x^2=1 \end{eqnarray*}$

wo liegt dann der fehler?

Wie kommst du auf die 2c? Wenn du erweiterst, bekommst du c²

29.09.2006, 12:53

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$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f(x)-g(x)=H(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-1-2c}{3x}x^3+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}_{-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}\frac{-1-2c}{3x}x^3+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{-1-2c}{-3\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}(-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}-\frac{-1-2c}{3\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(c)=\frac{2(-1-2c)}{-3\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}\cdot\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}^3-2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

bevor ich ableite- ist es so weit richtig?

29.09.2006, 13:26

Calvin

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} \int f(x)-g(x)=H(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-1-2c}{3x}x^3+x \end{eqnarray*}$

In der oberen Zeile muss es g(x)-f(x) heißen, damit es zur weiteren Rechnung passt. In der zweiten Zeile hast du beim Zusammenfassen der Brüche wieder den gleichen Fehler wie oben gemacht. 2c ist falsch. Richtig ist c². Und wo kommt plötzlich das x im Nenner her? Da muss ein c hin. Rechne nochmal Schritt für Schritt g(x)-f(x) aus und bilde dann die Stammfunktion.

Und für später eine kleine Vereinfachung: der Integrand g(x)-f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} \int^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}_{-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}g(x)-f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}g(x)-f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

EDIT
Und was mir noch auffällt: du vergisst immer das dx am Ende der Integrale Augenzwinkern

29.09.2006, 14:22

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hey cool- danke für die sehr sehr guten tipps, calvin

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int g(x)-f(x)~\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{1-c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

29.09.2006, 14:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{1-c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

29.09.2006, 14:30

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$\begin{eqnarray*} H(x)=-\frac{1-c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

und jetzt?

29.09.2006, 14:31

klarsoweit

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Das ist es auch nicht. Schreibe nochmal genau hin, was g(x) - f(x) ist.

29.09.2006, 14:31

derkoch

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} H(x)=-\frac{1-c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

und jetzt?

jetzt ja!

edit: habe ich irgendwas übersehen? verwirrt

stimmt doch oder klarsoweit?

edit2: grr! jetzt sehe ich ja das die ausgangsfunktion oben ja "verändert" wurde!

oki!

@PG dann stimmt es nicht!

29.09.2006, 14:35

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$\begin{eqnarray*} f(x)=cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int g(x)-f(x)~\dx \end{eqnarray*}$

ach ich habe vergessen zu integrieren oder? war das der fehler?

$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{c}x^2+1+cx^2=-\frac{1+c^2}{c}+1 \end{eqnarray*}$

gilt das minus vor dem bruchstrich für den ganzen zähler? wenn ja, dann wäre ein widerspruch, weil ich vorhin auch so schreiben könnte

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{-1}{c}x^2+1+cx^2=\frac{-1+c^2}{c}+1 \end{eqnarray*}$

und dann würde er nur für den zähler gelten. wie ist das zu erklären?

29.09.2006, 14:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{c}x^2+1+cx^2=-\frac{1+c^2}{c}+1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß beim besten Willen nicht, was du rechnest. verwirrt

$\begin{eqnarray*} h(x)=g(x) - f(x) = -\frac{1}{c}x^2+1-cx^2 = (\frac{1}{c} + \frac{c^2}{c}) \cdot (-x^2) +1 = -\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

29.09.2006, 14:41

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ich rechne, wie ich rechnen muss Augenzwinkern

was verstehst du nicht? sag mir, dann erklär ich dir, damit wir weiter kommen

edit: du hast recht: $\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{c}x^2+1+cx^2=-\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

29.09.2006, 14:46

derkoch

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Zitat:

Original von PG
ich rechne, wie ich rechnen muss Augenzwinkern

was verstehst du nicht? sag mir, dann erklär ich dir, damit wir weiter kommen

vergleiche deine darstellung und die von klarsoweit, danach einafach nachdenken und genießen! Augenzwinkern

29.09.2006, 14:46

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
ich rechne, wie ich rechnen muss Augenzwinkern

Eher was/wie du willst!

Zitat:

Original von PG
was verstehst du nicht? sag mir, dann erklär ich dir, damit wir weiter kommen

klarsoweit hat deinen Fehler sogar schon berichtigt!

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} h(x)=g(x) - f(x) = -\frac{1}{c}x^2+1-cx^2 = (\frac{1}{c} + \frac{c^2}{c}) \cdot (-x^2) +1 = -\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

29.09.2006, 14:47

klarsoweit

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Ich habe deine fehlerhafte Rechnung zitiert und die richtige Rechnung hingeschrieben.

Ich habe deswegen gefragt, weil du mit jedem Post eine neue falsche Variante präsentiert hast.

29.09.2006, 14:49

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$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{c}x^2+1+cx^2=-\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$ [/quote]
jo ich habe es auch bemerkt und editiert smile

, aber danke trotzdem!

wir müssen mal mit dieser aufgabe fertig werden, also erst mal ne nebenfrage:

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{-1}{c}x^2+1+cx^2=\frac{-1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

so könnte ich es ja auch schreiben und rechnen, aber warum geht das nicht? ich meine dieses minus vor dem bruch könnte man zu der 1 zuordnen und dann halt weiter rechnen, aber warum geht das nicht?

erst mal diese frage bitte, damit mir alles klar wird

29.09.2006, 14:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{c}x^2+1+cx^2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon wiedere nicht.
Es heißt minus f(x) und deswegen minus c*x².
Solange das nicht klar ist, ist die weitere Rechnung eh murks. Alles andere siehe meinen Beitrag oben.

29.09.2006, 14:52

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
jo ich habe es auch bemerkt und editiert smile

Nicht sehr schön, jetzt ist klarsoweits Post für andere nicht mehr nachvollziehbar. unglücklich

Edit: Nehme meine Kritik zurück. Hast in einem späteren Post editiert. Also ... gut gemacht! Augenzwinkern

29.09.2006, 14:53

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG

wir müssen mal mit dieser aufgabe fertig werden, also erst mal ne nebenfrage:

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{-1}{c}x^2+1+cx^2=\frac{-1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

so könnte ich es ja auch schreiben und rechnen, aber warum geht das nicht? ich meine dieses minus vor dem bruch könnte man zu der 1 zuordnen und dann halt weiter rechnen, aber warum geht das nicht?

erst mal diese frage bitte, damit mir alles klar wird

nein so kann man nicht schreiben! das ist falsch!

weil das minus, wie in klarsoweits darstellung für den ganzen bruch gilt!
du wendest das minuszeichen aber nur auf die 1 an! und das ist falsch!

29.09.2006, 14:56

klarsoweit

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Zitat:

Also obige Umformung ist zwar formal richtig. Nur ist das h(x) einfach nicht richtig hingeschrieben.

29.09.2006, 14:59

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wird bearbeitet(habs verstanden) in3min stammfunktion...

edit:
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-1-c^2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-2c^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-2c^3x}{c^2} \end{eqnarray*}$

richtig?

29.09.2006, 15:01

Bjoern1982

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Hallo

Mal so nebenbei:

Könnte man das ganze Problem nicht auch dahingehend vereinfachen, indem man einfach den Abstand der beiden Scheitelpunkte als Funktion ausdrückt und diese dann maximiert verwirrt

Edit:

Nee, das bringt leider nichts Hammer

Gruß Björn

29.09.2006, 15:04

klarsoweit

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@Björn: also die Scheitelpunkte sind (0; 0) und (0; 1). An denen ändert sich nichts. ;

29.09.2006, 15:05

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe edit plz

29.09.2006, 15:05

Bjoern1982

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Jup, habs schon gemerkt, sorry

29.09.2006, 15:10

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es denn mit dem Abstand der Schnittpunkte gehen?

29.09.2006, 15:11

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich wiederhole nochmal: seht meinen edit zwei beiträge vorher

ist die stammfunktion so richtig?

29.09.2006, 15:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-2c^3x}{c^2} \end{eqnarray*}$

richtig?

Du mußt doch über x integrieren.

29.09.2006, 15:14

Calvin

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Zitat:

Original von PG
wird bearbeitet(habs verstanden) in3min stammfunktion...

edit:
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-1-c^2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-2c^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{-2c^3x}{c^2} \end{eqnarray*}$

richtig?

Was machst du denn da? Ist das ein Versuch mit partieller Integration?

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+c^2}{c} \end{eqnarray*}$ ist lediglich ein konstanter Faktor. Du musst also "nur" das x² und die 1 integrieren. Danach den Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac{1+c^2}{c} \end{eqnarray*}$ an der richtigen Stelle wieder einfügen.

29.09.2006, 15:18

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hmmm ihr habt vollkommend recht... irgendwie konzentrier ich mich zu wenig- es tut mir echt leid...

$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1+c^2}{c}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=-\frac{1+c^2}{3c}x^3+x \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es richtig sein

29.09.2006, 15:20

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem letzten EDIT stimmt es jetzt.

29.09.2006, 15:24

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} H(x)=-\frac{1+c^2}{3c}x^3+x \end{eqnarray*}$

soweit so gut...
nun zur neuen funktion mit der variablen c

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\int^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}_{0}~H(x)~\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(0-(-\frac{1+c^2}{3c}\cdot(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

29.09.2006, 15:29

Calvin

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\left(0-\left(-\frac{1+c^2}{3c}\cdot\left(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\right)^3+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Du musst erst die obere und dann die untere Grenze einsetzen, sonst stimmt das Vorzeichen des Ergebnisses nicht.

Ansonsten sehe ich keine Fehler

29.09.2006, 15:31

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du hast recht björn Hammer

- ich glaube, ich mache die fehler aufgrund der unübersichtlichkeit...wieder von vorn Spam

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\int^{\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}}_{0}~H(x)~\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(-\frac{1+c^2}{3c}\cdot(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}})^3+\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}-0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\left(\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\right)^3 +2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\left(-\frac{2(1+c^2)}{3c}\cdot\frac{c}{c^2+1}+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{c}{c^2+1}}\cdot(\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

ich weiss ich weiss-noch ein fehler LOL Hammer

edit: habe hier beitrag ausgelöscht und den beitrag für 16:11 geschrieben Hammer

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