Funktionsbestimmung Parabel x^4

31.10.2009, 16:02

Floyd

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Funktionsbestimmung Parabel x^4

Hallo an alle Mathekollegen

ich habe folgende Aufgabe zru Funktionsbestimmung und finde die 5 Bedingung nicht:

"In P(0/-4) hat eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4 Grades ihren Tiefpunkt. Sie berührt die x-achse bei x= -2" Bestimme die Funktion:

Allgemein:

Ziel: f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e
f´(x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx+d

Gleichungen:

aus P(0/-4): 1) -4 = e
aus f'(0) =0 2) 0 = d
aus N(-2/0): 3) 0 = -16a - 8b + 4c - 2d + e
aus N'(2/0): 4) 0 = 16a + 8b + 4c + 2d + e

Bei 5 unbekannten Koeffizienten brauche ich auch 5 Gleichungen, ich habe nur 4....
Was fehlt mir noch? Ich dachte ich hätte die Symmetrie mit der Gleichung 4) schon verwertet.

Ein Danke vorab

31.10.2009, 16:09

Q-fLaDeN

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4

Zitat:

Original von Floyd
zur y-Achse symmetrische Parabel 4 Grades

Was sagt dir das genau? Diese Information hast du nämlich nicht verwendet.

31.10.2009, 16:25

baphomet

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Welche Bedingung benötigt denn ein Wendepunkt nochmal, wie wärs mit der 2. Ableitung.

EDIT

hab mich verschrieben, soryy

31.10.2009, 16:27

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Hm... also ich dachte mir schon die ganze Zeit, dass es irgendetwas mit der symmetrie zur y-achse zu tun haben muss. Nun meine antwort

zur y-achse symmetrisch heißt die funktion ist achsensymmterisch. Funktionen, deren Graph symmetrisch zur Y-Achse verläuft, nennt man gerade Funktionen. Bei geraden Funktionen gilt f(-x) = f(x).

das heißt ich sollte meine Zielfunktion folgender Maßen formulieren:

f(x) = ax^4 + bx² + c

und dann meine aufgetsellten Bedingungen an der Funktion austesten?

Dann wäre aber:

f'(x) = 4ax³ + 2bx²

Gleichungen:

aus P(0/-4): 1) -4 = c
aus f'(0)=0 2) 0 = 0
aus N(-2/0): 3) 0 = 16a + 4b + c
aus N'(2/0): 4) 0 = 16a + 4b + c

c in 3) b = 4a - 1 ; das wiederum in 4)

aus 4) 0 = 16a + 4 * (4a-1) -4 --> a= 0,25 --> b=0

--> f(x) = 0,25 x^4 - 4 ! Richtig?

31.10.2009, 16:28

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Ein Wendepunkt ist doch nicht vorhanden.

31.10.2009, 16:38

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
@Baphomet
Du wurdest schon gebeten, keine unpassenden oder unzutreffenden Beiträge zu liefern.
Halte dich bitte daran.

@Floyd
Du hast recht, es ist kein WP angegeben, ignoriere den Beitrag von Baphomet einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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31.10.2009, 16:40

baphomet

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Ich habs schon korrigiert, tut mir wirklich leid für diesen Fehler.

31.10.2009, 16:52

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Mist, ich muss meine eigene Antwort korrigieren.... und stehe wieder vor dem Nichts ..-)))

also wenn ich c= -4 in 3) einsetze und b ausrechne kommt nicht b = 4a - 1 raus,

sondern b = -4a +1 raus. Das erste Ergebnis wäre mir aber mir lieber..... denn wenn ich mit dem zwieten weiter rechne.... bekomme ich kein a aus der 4 Gleichung.....

irgendwo habe ich einen denk oder rechenfehler... oder beides :-))

31.10.2009, 17:10

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Mal einen Tipp von mir:

Zitat:

aus N(-2/0): 3) 0 = 16a + 4b + c
aus N'(2/0): 4) 0 = 16a + 4b + c

Das kann so nicht stimmen.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

f'(x) = 4ax³ + 2bx²

Und das ist vermutlich nur ein Tippfehler?

31.10.2009, 17:25

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Ok,. ich sehe schon, da hätte ich mich besser ausdrücken sollen, sorry Sulo:

zu 1) funktion lautet: f(x) = ax^4 + bx² +c

für den Punkt N(-2/0): 0 = 16a + 4b + c

aus symmetriegründen befindet sich eine zweite nullstelle auf der anderen seite mit dem Punkt

N'(2/0): 0 = 16a + 4b + c

wieso kann das nicht stimmen Sulo?????

Beim zweiten Punkt f' .... habe ich mich verschrieben!

31.10.2009, 17:33

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Das war dann ein Missverständnis von mir, ich dachte du benutzt den ' -Strich für die Ableitung im Sinne von f '.
Denn genau f '(2) oder f '(-2) ist das, was du noch brauchst... smile

smile

edit:
Eigentlich möchte ich mich nicht in den Thread reinhängen, habe da ursprünglich nur wegen Baphomet gepostet....
Q-FLaDeN ist zwar on, aber anscheinend mit anderen Aufgaben beschäftigt....? verwirrt

verwirrt

Bin also gerne bereit, mich wieder zurückzuziehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.10.2009, 17:47

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Achso, "berührt" heißt.... dort liegt ein Extremwert vor ... richtig?

Ist dann mein Ansatz mit den nur geraden Exponenten falsch?

31.10.2009, 17:54

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Nein, dein Ansatz stimmt schon... Freude

Freude

Und in der Tat hast du da einen Extremwert. Freude

Freude

31.10.2009, 17:59

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
So einen Blödsinn den ich schreibe,,.,,,,, ex gibt keinen Extremwert bei 2 oder auch bei -2!!!!!!!!!!!!!

dort befinden sich lediglich die Nullstellen....... von berühren kann man aber schlecht sprechen ala aufgabenstellung, sondern besser von schneiden. !!! Wer hat diese aufgabe denn formuliert!!!!!!!

nun zu meiner aufgabe und zu dir sulo!!!

ich verstehe dann nicht, wieso ich f(2) & und f'(2) brauchen sollte.... schließlich ken ne ich den Funktionwert nicht!!!

Wenn er Null sein sollte, dann würde dort ja wieder ein Extremwert liegen..... dann hätte ich ja insegesamt 3 Extremstellen..... und das ist doch bei einer Parabel unmöglich. Es gibt nur einen!

31.10.2009, 18:03

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Stelle mir die funktion grafisch so vor! siehe anhang

31.10.2009, 18:28

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Deine Grafik ist sehr hübsch, zeigt aber keine Parabel vierter sondern zweiter Ordnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Sie berührt die x-achse bei x= -2

Schau dazu mal hier smile

smile

31.10.2009, 18:33

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Also die Funktion zur Grafik lautet:

f(x) = 0.25 x^4 - 4

und dein Beispiel ist eine Funktion 3. Ordnung :-)))

31.10.2009, 18:37

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
EIne Funktion 4 Ordnung kann nur einen Extrempunkt haben. Da sind wir uns doch einig oder? Und da der Tiefpunkt bei P(0/-4) liegt und die Nullstellen bei x=-2, und x=2 , so muss sie also mit meiner Grafik übereinstimmen.

oder nicht?

31.10.2009, 18:38

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
edit: Das Folgende bezieht sich auf deinen Post von 18:33

Schon, mir geht es ja auch darum, dass du verstehst, was der Ausdrück "berührt" bedeutet... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und deine Funktion ist nicht richtig, weil für b nicht 0 rauskommt.... unglücklich

unglücklich

Und jetzt zu deinem Post von 18:37

Zitat:

EIne Funktion 4 Ordnung kann nur einen Extrempunkt haben. Da sind wir uns doch einig oder?

Nein! Die vorliegende Funktion hat 3 Extrempunkte. (Siehe: "berührt" ....)

31.10.2009, 18:41

Floyd

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Berührt illustriert für mich folgendes Beispiel:

an der stelle x= 3 berührt der graph die x-achse

31.10.2009, 18:43

sulo

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RE: Funktionsbestimmung Parabel x^4
Aha, also Extrempunkt bei "berührt" smile

smile

31.10.2009, 18:45

Floyd

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also bist du der meinung, dass die funktion so aussehen müsste?

31.10.2009, 18:45

Floyd

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Bisschen stümpferhaft gezeichnet aber prinzip ist klar :_)))

31.10.2009, 18:53

sulo

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Um genau zu sein: Exakt so sieht sie aus: Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast also recht mit deiner Vorstellung. Bloß wie heißt die Funktionsgleichung.... verwirrt

verwirrt

31.10.2009, 18:54

Floyd

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aber sulo

der verlauf meines zweiten stümperhaften graphen ist doch garnicht möglich.

Denn die Funktion lautet doch : f(x) = ax^4 + bx² +c

Werte gegen - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und gegen + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein stets im positiven bereich.... und die funktion kann garnicht gegen - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen!

31.10.2009, 18:57

Floyd

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ach so einen blödsin den ich schreibe... sorry.... klann natürlich durch das a ins negative abdrften

31.10.2009, 18:58

baphomet

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Dein Koeffizient a vor der vierten Potenz muß negativ sein, dann verläuft der Graph der Funktion gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , dies führt zu einer Spiegelung an der x-Achse.

Du hast folgendes Gleichungssystem:

I c=-4
II 0=16a+4b-4
III 0=16a+4b-4
IV 0=24a+4b
b=-8a

Nun setzt du für b gleich IV in II oder III ein

16a+4(-8a)-4=0
-8a=4
a=-2

Jetzt nur noch b ausrechnen

31.10.2009, 18:59

sulo

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Warum hörst du nicht auf zu Theoretisieren und rechnest einfach mal die Funktionsgleichung aus? verwirrt

verwirrt

Tipp: Schon mal was von negativen Vorzeichen gehört? Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.10.2009, 19:04

Floyd

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Aber damit die Funktion so verläuft, darf die Zielfunktion nicht nur aus positiven Exponenten besteh, also in der Form:

f(x) = ax^4 + bx² +c

sondern

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + d

31.10.2009, 19:05

Floyd

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ok schluß mit theorie, fange jetzt wieder an zu rechnen!

31.10.2009, 19:05

Floyd

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ja habe ich doch schon erkannt sulo, siehe zwei posting vorher!

31.10.2009, 19:07

sulo

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Zitat:

Original von Floyd
Aber damit die Funktion so verläuft, darf die Zielfunktion nicht nur aus positiven Exponenten besteh, also in der Form:

f(x) = ax^4 + bx² +c

sondern

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + d

unglücklich

31.10.2009, 19:09

baphomet

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Folgendes Gleichungsystem

I c-4
II 0=16a+4b-4
III 0=24a+4b
b=-8a

III in II ensetzen

0=16a+4(-8a)-4
-8a=4
a=-2

Jetzt nur noch b ausrechnen, alles klar.

31.10.2009, 19:23

sulo

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Baphomet, dein Beitrag steckt wieder voller Fehler.... unglücklich

unglücklich

Was soll das? verwirrt

verwirrt

31.10.2009, 19:33

baphomet

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ok, ein fehler, korrgiere ich hiermit.
, nochmal wir suche eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades, die 3 Extrempunkte besitzt, zwei davon sind zugleich Nullstellen korrekt, die Nulllstellen befinden sich bei x=2 und x=-2 und sind Maxima und bei (0|-4) liegt ein Minima

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^2+c<br /> f'(x)=4ax^3+2bx<br /> <br /> I -4=0^4a+0b^2+c<br /> c=-4<br /> II 0=2^4a+2^2b+c<br /> 0=16a+4b-4<br /> III 0=4\cdot 2^3a+2\cdot2b<br /> \end{eqnarray*}$

edit: Ich habe die letzten drei Zeilen (und die Erklärung) deiner Ausführung gelöscht, weil keine Komplettlösungen gepostet werden sollen, wie du weißt.
LG sulo

31.10.2009, 23:13

Floyd

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vielen dank - habe nun die lösung dank eurer tipps gefunden :-)

01.11.2009, 11:32

sulo

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Wie wär's, wenn du die gefundene Funktionsgleichung nochaufschreiben würdest?
Das wäre dann ein guter Abschluss des Threads. smile

smile

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