Vollständige Induktion von Ungleichungen

31.10.2009, 16:30

chrissimo

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Vollständige Induktion von Ungleichungen

Hallo
wir sollen mit vollständiger Induktion folgendes beweisen
$\begin{eqnarray*} (a-b)n(1+a)^{n-1}\geq (1+a)^{n}-(1+b)^{n}\geq (a-b)n(1+b)^{n-1} \end{eqnarray*}$
nun habe ich den induktionsanfang gemacht und induktionsvorraussetzung hingeschrieben
nun lautet meine Induktionsbehauptung
$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+a)^{n+1-1}\geq (1+a)^{n+1}-(1+b)^{n+1}\geq (a-b)(n+1)(1+b)^{n+1-1} \end{eqnarray*}$
und jetzt finde ich keine Anfang im Induktionsbeweis.
Könnt ihr mir helfen????

01.11.2009, 13:57

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion von Ungleichungen
Zunächst mal wäre es schön, wenn Aufgaben vollständig gepostet werden. Denn ohne die Voraussetzung a >= b >= 0 wird es etwas schwierig.

Nehmen wir nun den linken Teil der Ungleichung. Dann haben wir im Induktionsschritt:

Es gelte: $\begin{eqnarray*} (a-b)n(1+a)^{n-1} \geq (1+a)^{n} - (1+b)^{n} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+a)^{n+1-1} \geq (1+a)^{n+1} - (1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun geht's los. Wir nehmen die linke Seite der Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+a)^n = (1+a)(a-b)n(1+a)^{n-1} + (a-b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$

mit Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} \geq (1+a)((1+a)^n - (1+b)^n) + (1+a - (1+b))(1+a)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq (1+b)((1+a)^n - (1+b)^n) + (1+a)^{n+1} - (1+b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$

Der Rest ist trivial. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens kann man das auch schön mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen.

01.11.2009, 14:46

AD

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Im Fall $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ kann man die Behauptung durch Umlabeln $\begin{eqnarray*} a'=b,b'=a \end{eqnarray*}$ so schreiben:

$\begin{eqnarray*} (b'-a')n(1+b')^{n-1} \geq (1+b')^n-(1+a')^n \geq (b'-a')n(1+a')^{n-1} \end{eqnarray*}$ ,

was durch Multilplikation mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} (a'-b')n(1+b')^{n-1} \leq (1+a')^n-(1+b')^n \leq (a'-b')n(1+a')^{n-1} \end{eqnarray*}$

was wiederum der ursprünglichen Behauptung entspricht. D.h., der Beweis für den Fall $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ erledigt den Fall $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gleich mit. Summa summarum dürfte die Behauptung für alle $\begin{eqnarray*} a\geq -1,b\geq -1 \end{eqnarray*}$ sowie positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten.

01.11.2009, 15:30

chrissimo

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danke das für die linke seite habe ich verstanden und mit der rechten mache ich das analog oder???

01.11.2009, 17:18

klarsoweit

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Habs' jetzt nicht gerechnet, aber ich würde vermuten, daß das analog geht.

01.11.2009, 19:38

lisischatz

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hallo, ich muss die selbe aufgabe lösen und versteh den schritt noch nicht:

$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+a)^n = (1+a)(a-b)n(1+a)^{n-1} + (a-b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$

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01.11.2009, 19:49

klarsoweit

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Wo ist das Problem? Etwas Distributivgesetz und etwas Potenzregeln.

02.11.2009, 06:37

ankasztaj

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Der Schritt mit der Induktionsvoraussetzung ist mir noch nicht ganz klar. Liegt wahrscheinlich daran dass ich noch nicht so oft vollständige Induktion geübt habe.
Links steht also die umgeformte Seite und rechts dann die gleichung von der induktionsvoraussetzung um bestimmte terme erweitert. dann muss man zeigen dass die erweiterte seite gleich der mit (n+1) ist. Aber wieso gerade so erweitert?
erstmal mi (1+a) multiplizieren. Ist klar. Wegen der linken Seite.
Aber dann
$\begin{eqnarray*} + (1+a - (1+b))(1+a)^n \end{eqnarray*}$
wieso wurde das mit $\begin{eqnarray*} (1+a)^n \end{eqnarray*}$ erweitert?

02.11.2009, 06:42

ankasztaj

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RE: Vollständige Induktion von Ungleichungen
Und wie kommt man hier
$\begin{eqnarray*} \geq (1+b)((1+a)^n - (1+b)^n) + (1+a)^{n+1} - (1+b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$
auf dieses (1+b) ?
gerade eben stand dort doch (1+a)?
oder hast du dich einfach vertippt?

02.11.2009, 08:55

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion von Ungleichungen

Zitat:

Original von ankasztaj
Links steht also die umgeformte Seite und rechts dann die gleichung von der induktionsvoraussetzung um bestimmte terme erweitert.

Da mußt du schon konkreter zitieren, damit man versteht, was du mit links und rechts meinst

Zitat:

Original von ankasztaj
Aber dann
$\begin{eqnarray*} + (1+a - (1+b))(1+a)^n \end{eqnarray*}$
wieso wurde das mit $\begin{eqnarray*} (1+a)^n \end{eqnarray*}$ erweitert?

Da wurde gar nicht erweitert. Es stand vorher $\begin{eqnarray*} ... + (a - b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$ da und nachher auch, nur etwas anders dargestellt. smile

smile

Zitat:

Original von ankasztaj
Und wie kommt man hier
$\begin{eqnarray*} \geq (1+b)((1+a)^n - (1+b)^n) + (1+a)^{n+1} - (1+b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$
auf dieses (1+b) ?
gerade eben stand dort doch (1+a)?

Ich hatte am Anfang erwähnt, daß ich a >=b >= 0 voraussetze. Also ist auch 1+a >= 1+b. Durch die Ersetzung von (1+a) mit (1+b) wird der Term kleiner, was mit der Verwendung des ">="-Zeichens ausgedrückt wird.

02.11.2009, 11:39

ankasztaj

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ok die Umformung von $\begin{eqnarray*} (a-b)(1+a)^n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (1+a-(1+b))(1+a)^n \end{eqnarray*}$ hab ich verstanden. Du hast mit +-1 erweitert .
Ich dummerchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke!

02.11.2009, 11:56

ankasztaj

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wenn ich weiter die ungleichung beweisen will, soll ich so anfangen:
$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+a)^n\geq (a-b)(n+1)(1+b)^n \end{eqnarray*}$
oder eher so:
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1}-(1+b)^{n+1}\geq (a-b)(n+1)(1+b)^n \end{eqnarray*}$
??

02.11.2009, 12:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
oder eher so:
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1}-(1+b)^{n+1}\geq (a-b)(n+1)(1+b)^n \end{eqnarray*}$

Natürlich damit. Wobei ich mit der rechten Seite anfangen würde.

02.11.2009, 12:12

ankasztaj

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also schreibe ich:
$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+b)^n=(a-b)n(1+b)(1+b)^{n-1}+(1+b)^n \end{eqnarray*}$
richtig?oder soll ich (a-b) auch noch extra umformen?

02.11.2009, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
also schreibe ich:
$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+b)^n=(a-b)n(1+b)(1+b)^{n-1}+(1+b)^n \end{eqnarray*}$
richtig?

Falsch. Das Distributivgesetz ist nicht dein Freund?

02.11.2009, 13:23

ankasztaj

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ich habe doch $\begin{eqnarray*} (n+1)(1+b)^n=n(1+b)^n + (1+b)^n \end{eqnarray*}$
das stimmt doch oder?

oder wolltest du mich darauf hinweisen dass ich eher so machen sollte
$\begin{eqnarray*} (a-b)(1+n)=(a-b)n+(a-b) \end{eqnarray*}$

edit:
wenn es nämlich das zweite sein sollte dann sieht meine umformung wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} (1+b)^n((a-b)n(1+b)^{n-1})+(a-b)(1+b)^n \end{eqnarray*}$

falls das auch falsch sein sollte würde ich mich über hilfe freuen.
ehe ich weiter im dunklen tappe

02.11.2009, 13:36

ankasztaj

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kann ich wenn es die voraussetzung erlaubt, z.b. beliebig oft (1+b) in (1+a) umwandeln?

02.11.2009, 13:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
ich habe doch $\begin{eqnarray*} (n+1)(1+b)^n=n(1+b)^n + (1+b)^n \end{eqnarray*}$
das stimmt doch oder?

Ja, aber eigentlich machst du es komplizierter als es ist.

$\begin{eqnarray*} (a-b)(n+1)(1+b)^n = (n+1) \cdot [(a-b)(1+b)^n] = n \cdot [(a-b)(1+b)^n] + 1 \cdot [(a-b)(1+b)^n] \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 13:44

ankasztaj

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das stimmt smile

smile

aber am ende hatte ich dann das gleiche raus.

nochmal zu meiner letzten frage. kann ich dann nun beliebig oft 1+b in 1+a in dem rechten term umwandeln, da das rechte term ja größer als das linke ist?

02.11.2009, 13:49

klarsoweit

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Du redest von rechts und links. Ich sehe im Moment nur einen Term.

02.11.2009, 13:52

ankasztaj

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also wenn ich sowas habe:
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)^n(1+a)^n-(1+b)^{2n} + (1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$
kann ich da 1+b in 1+a umwandeln damit es aufgeht?
also:
$\begin{eqnarray*} \leq (1+a)^n(1+a)^n-(1+a)^{2n} + (1+a)(1+a)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

??

02.11.2009, 14:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
also wenn ich sowas habe:
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)^n(1+a)^n-(1+b)^{2n} + (1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist doch erstmal, wie du dahin gekommen bist.

02.11.2009, 14:08

ankasztaj

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durch umformungen. wieso kann man mir einfach die frage nicht beantworten unglücklich

unglücklich

es ist so aufwendig immer alles hinzuschreiben........
$\begin{eqnarray*} (1+b)^n((a-b)n(1+b)^{n-1})+(a-b)(1+b)^n\leq (1+b)^n((1+a)^n-(1+b)^n)+(a-b)(1+b)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)^n(1+a)^n-(1+b)^{2n}+(1+a-(1+b))(1+b)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)^n(1+a)^n-(1+b)^{2n}+(1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

stimmt das wenigstens???

02.11.2009, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
durch umformungen. wieso kann man mir einfach die frage nicht beantworten unglücklich

unglücklich

Weil da einfach was an deinem Ausgangsterm nicht stimmt:

Zitat:

Original von ankasztaj
$\begin{eqnarray*} (1+b)^n((a-b)n(1+b)^{n-1})+(a-b)(1+b)^n \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} (1+b)^n \end{eqnarray*}$ ist einfach falsch.

02.11.2009, 14:16

ankasztaj

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oh gott!

geschockt

jetzt sehe ich es auch! da sollte nur (1+b) stehen. was bin ich nur für ne pfeife...... Hammer

Hammer

02.11.2009, 14:22

ankasztaj

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ok... dann wird es dann so stehen:
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)(1+a)^n-(1+b)^{n+1}+(1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

stimmt es?

aber dann habe ich $\begin{eqnarray*} -2(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$
was mach ich denn damit????

kann ich jetzt irgendwo 1+b durch 1+a ersetzen?

02.11.2009, 14:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von ankasztaj
ok... dann wird es dann so stehen:
$\begin{eqnarray*} \leq (1+b)(1+a)^n-(1+b)^{n+1}+(1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

stimmt es?

Du hast zu früh ausmultipliziert. Nimm $\begin{eqnarray*} (1+b) \cdot ((1+a)^n - (1+b)^{n}) + (1+a)(1+b)^n-(1+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du das allervorderste (1+b) nach oben mit (1+a) abschätzen.

02.11.2009, 14:45

ankasztaj

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DankeDankeDanke!!!!!

Aber woher soll man das mit dem ersetzen wissen. Also dass es überhaupt geht? Steht es in irgendwelchen Büchern?

02.11.2009, 15:06

klarsoweit

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Das ergibt sich, wenn man sich den Beweis der ersten Ungleichung genau anschaut und analog vorgeht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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