Induktionsbeweis

31.10.2009, 17:52

DOZ ZOLE

Induktionsbeweis

Hallo ich soll per vollständiger Induktion folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (einschl. der Null)

Mein Induktionanfang ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^0~0^2=\frac{0(0+1)(2\cdot 0+1)}{6}=0 \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ ist schon für ein n gezeigt.

Induktionbedingung:

Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss/beweis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\sum_{k=0}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{(n+1)(4n^2+8n+6)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{2(n+1)(2n(n+2)+3)}{6} \end{eqnarray*}$

und an diesem Punkt habe ich mich jetzt aufgehängt und komm nicht weiter. Kann mir jemand nen guten Tipp diesbezüglich geben?

MfG
DOZ ZOLE

31.10.2009, 18:02

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\sum_{k=0}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{(n+1)(4n^2+8n+6)}{6}\\ \sum_{k=0}^{n}~k^2=\frac{2(n+1)(2n(n+2)+3)}{6} \end{eqnarray*}$

weiss nicht wirklich, was du da machst... verwirrt

du musst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

ist, unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung.
Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\sum_{k=0}^{n}~k^2+(n+1)^2=... \end{eqnarray*}$

31.10.2009, 18:14

DOZ ZOLE

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Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2=\sum_{k=0}^{n}~k^2+(n+1)^2=... \end{eqnarray*}$

wo kommt jetzt das $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ her? das ist doch einfach das k erstetzt oder?

01.11.2009, 11:09

klarsoweit

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Vermutlich meinst du das richtige. (n+1)² ist der letzte Summand der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~k^2 \end{eqnarray*}$ .

Du solltest dir nochmal Klarheit darüber verschaffen, was es mit dem Summenbegriff auf sich hat.

01.11.2009, 11:37

freshness

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selbe Aufgabe problem bei der Umformung
ich habe mit dieser Aufgabe auch ein Problem,
allerdings mit der Umformung

Bei der Induktion ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n k^2+(n+1)^2 = \frac{(2n+1)(n+1)n}6+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n+1)(n+1)n+6(n+1)^2}6 \end{eqnarray*}$

soweit so gut:

aber ich schaff es leider nicht dieses Polynom umzuformen sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)(n+2)(n+1)}6 \end{eqnarray*}$

rauskommt. verwirrt

Kann mir bitte jemand Lehrer

(ausführlich) die zwischenschritte erklären ?

01.11.2009, 11:51

klarsoweit

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RE: selbe Aufgabe problem bei der Umformung
Klammere im Zähler (n+1) aus. Der Rest ist fast schon trivial.
Im übrigen sollte die Summe über die Laufvariable k gehen, wenn du über k² summierst. smile

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