Abbildungen

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen
Gegeben sind die Abbildungen

f: X-->Y
g Y-->X
id: X -- > X: x-->x


a) Zeigen Sie, dass aus g o f = id folgt, dass f injektiv und g surjektiv ist.



Also erste Abbildung ist

f(x)=y

Zweite g(y)=x

Das heißt ja: g(f(x)) = x

Das steht ja auch da als g o f = id


Mal ein Beispiel:

Injektive Funktion: f(x)=x
Surjektive Funktion: g(x)= 2x+1

Hier funktioniert das doch gar nicht?

g(f(x))= 2x+1 für g(f(3))= 7 und nicht 3 ?

Woran haperts?
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach stimmt die Implikation nicht, der Satz sagt ja nur aus, dass wenn , dass dann injektiv ist, und surjektiv.
Du hingegen nimmst dir 1 injektive und 1 surjektive Funktion und versuchst die Identität zu konstruieren. Mit anderen Worten: du benutzt des Satz in eine Richtung, in der er nichts aussagt. Der Satz ist die Richtung nämlich nicht anwendbar, es ist nur eine Implikation und keine Aequivalenz. Hoffe, es ist rausgekommen, was ich sagen wollte smile
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, du hast recht!Super Danke !

Ich habe im Internet eine Aufgabe gefunden:

a)

Was heißt das?

Alle reellen Zahlen werden abgebildet auf alle reellen Zahlen : aus x wird x² ?
ist das dann f(x)=x² ? dann müsste doch eher dran stehen X-->Y (wie bei meiner Aufgabe oben)

Die Aufgabe dazu lass ich mal weg...

b)


Was bedeutet das x--> min (x,x²) ?
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)
heißt, dass du ein Element aus nimmst und das Bild unter der Funktion ist dann wieder aus , deine Zuordnungsvorschrift ist dann in der Tat
Ein Element aus ergibt ja durch Quadrierung wieder ein Element aus . Deshalb sind Bild und Urbildraum hierbei identisch.
Nimm dir nur ein leichtes Beispiel: . Wenn also der Urbildraum ist, dann muss der Bildraum ein größerer sein, als , nicht wahr?

zu b)
heißt nichts, anderes, als dass dein Element auf das kleinere der Elemente abgebildet wird. Du schaust dich also und sein Quadrat an und bildest dann auf das kleinere von beiden ab.

lg
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

"Surjektiv: Jedes Element der Zielmenge hat ein Urbild"

Laut Wikipedia gilt:



Diese Funktion sei nicht Surjektiv, da -1 kein Urbild hat.

ABER: -1 kommt doch auch gar nicht in der Zielmenge vor, die Zielmenge sind ja die Werte von x² (1,4,16,...) und nicht -1 ...

Zielmenge ist ja:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Injection.svg


Oder muss ich bei Zielmenge vorne schauen, da heißt es ja



??
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

Arbeite lieber mit Bild und Urbild - macht die Sache sehr viel einfacher smile

Allgemein: Eine Abbildung bildet ein Element der Urbildmenge auf ein Element der Bildmenge ab.

Nun zu deinem Beispiel: natürlich ist oder anders gesagt: . Deswegen ist nicht surjektiv.

Edit: Ich sehe grade worauf du hinaus willst. Natürlich ist -1 auch nicht im Bildbereich von enthalten, d.h. . Die beiden Aussagen sind äquivalent.
 
 
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt das -1 in der bildmenge vorkommen müsste laut , dies tut es aber nicht , daher nicht surjektiv?



heißt das also das die Bildmenge alle reellen Zahlen enthalten MUSS, also auch beim Beispiel: -1 , dies tut die bildmenge aber nicht..?
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest von deiner Bildmenge natürlich fordern - also die Menge der positiven reelen Zahlen. Jedoch wird diese Einschränkung nur selten gemacht, da ja gesagt wird, dass nicht surjektiv ist und somit von vornherein gilt, dass nicht der ganze Bildbereich getroffen wird.
Denke nur an eine etwas schwierigere Funktion als und schon wirst du Schwierigkeiten haben den Bildbereich einzuschränken, da womoglich überabzählbar viele Definitionslücken auftreten könnten.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal :


heißt das also das die Bildmenge alle reellen Zahlen enthalten MUSS, also auch beim Beispiel: -1 , dies tut die bildmenge aber nicht..?
Seren Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das KANN sie überhaupt nicht, da nicht surjektiv ist! Werde dir darüber im Klaren, was das für die Bildmenge bedeutet!
Du kannst in deinem Beispiel auch setzen, da nur positive Zahlen ( und 0 ) getroffen werden.
Eine Abbildung nach heißt nicht, dass alle Elemente aus getroffen werden(müssen). Man kann diese beliebig einschränken, macht man aber meistens nicht. Dazu sind die Begriffe surjektiv und injektiv, sodass man weiß, dass eben nicht alle Elemente der Bild- und Urbildmenge als Elemente der Abbildung auftreten.

Ich hoffe das ist jetzt etwas klarer geworden.

lg
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

ich will nur kurz stören:

Kannst mir jemand sagen was dieses Zeichen bei einer abbildung bedeutet:

x -->= | 2x + 1

edit neues thema dazu aufgemacht
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich als Schwerbegreifender nochmal:

[/latex]

Meiner Meinung nach ist hier die Urbildmenge: z.B. -2,-1,0,1,2,3....

Die Bildmenge ist aber nur f(x)>0 also 0,5 ; 1 ; 2 ; 4 ; ....


Und jetzt heißt es ja im obigen Beispiel, das der Wert -1 nicht erreicht wird, aber dieser Wert kommt doch auch gar nicht in der Bildmenge vor.

Oder ist es surjektiv weil es heißt

und eigentlich müsste es heißen dass alle reellen Zahlen auf Zahlen größer gleich Null abgebildet werden, dann wäre es surjektiv?

Man hat also einen Widerspruch, und deshalb nicht surjektiv?
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben sind die Abbildungen

Hallo Sportsfreunde, folgende Aufgabe, davon nur der b-Teil:

f: X-->Y
g Y-->X
id: X -- > X: x-->x


a) Zeigen Sie, dass aus g o f = id folgt, dass f injektiv und g surjektiv ist.

Ok das ist klar...

b)

Geben Sie ein Beispiel für g o f = id an wobei f nicht surjektiv ist und g nicht injektiv

Hier verstehe ich die Lösung meines Profs nicht wirklich:

Wähle: x={1} und y={1,2}









Erstmal Frage hierzu:


1.heißt es nun das x={1} die Urbildmenge ist und y={1,2} die Bildmenge? (also dass gilt nur für f , für g ist es andersrum?)



Damit g nicht injektiv ist, muss gelten dass ich für g(1) und g(2) den gleichen Wert rausbekomme : g(1)=g(2)

...

f nicht surjektiv: heißt dass z.B. der Wert 1 der Bildmenge kein Urbild hat, also f(1) ist ungleich 1 ..?

mein prof hat geschrieben: f(x) ist ungleich 2

a) kann ich dass ja mit 1 oder 2 machen ?

b) muss ich nicht f(1) = ungleich 1 bzw. 2 schreiben ?


Gruß Physi


PS: Am besten zitieren und drunter Kommentar schreiben, danke!
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Physinetz
b)

Geben Sie ein Beispiel für g o f = id an wobei f nicht surjektiv ist und g nicht injektiv

Hier verstehe ich die Lösung meines Profs nicht wirklich:

Wähle: x={1} und y={1,2}









Erstmal Frage hierzu:


1.heißt es nun das x={1} die Urbildmenge ist und y={1,2} die Bildmenge? (also dass gilt nur für f , für g ist es andersrum?)


Das ist schonmal richtig, für f ist X = {1} die Urbildmenge und Y = {1,2} die Bildmenge.

Zitat:
Original von Physinetz
Damit g nicht injektiv ist, muss gelten dass ich für g(1) und g(2) den gleichen Wert rausbekomme : g(1)=g(2)


Ich bin da selber auch noch nicht 100% sicher in der Thematik, aber Injektivität bedeutet in Worten, dass ein x aus X auf höchstens ein y aus Y abgebildet wird, wobei surjektiv bedeutet, dass es für jedes y aus Y mindestens ein x aus X gibt, welches auf dieses abgebildet wurde.

Zitat:
Original von Physinetz
f nicht surjektiv: heißt dass z.B. der Wert 1 der Bildmenge kein Urbild hat, also f(1) ist ungleich 1 ..?


es muss dann f'(1) ungleich 1 heissen, du musst da von der inversen Funktion ausgehen, also der Abbilddung f:Y -> X
soweit klar? denn die 1 ohne zugehöriges urbild ist ja in Y und nicht in X.

Mit deinem letzten konnte icch selber auch nix anfangen, ich wusste nicht was du meinst.

Lass dir die Bedeutung von Injektivität und Surjektivität immer mal wieder durch den kopf gehen, das hat bei mir auch mehrere Tage gedauet, bis ich das verinnerlicht hatte.

lg
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