Integral mit negativen Exponenten

28.09.2006, 19:20

flasher

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Integral mit negativen Exponenten

Hallo,

ich bräuchte einen kleinen Hinweis/Regel/Gesetz, wie ich zu folgendem Integral die Stammfunktion berechnen kann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(1 + x + x^2e^{3x})*x^{-2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich könnte sie folgendermaßen umformen:

1. Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(\frac{1 + x + x^2e^{3x}}{x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

2. Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + e^{3x}~dx \end{eqnarray*}$

Die zweite Möglichkeit scheint mir einfacher zu integrieren, allerdings weiß ich leider nicht mehr WIE ich Brüche integriere!

Danke euch!

Gruß,

Andi

28.09.2006, 19:23

Calvin

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RE: Integral mit negativen Exponenten

Zitat:

Original von flasher
allerdings weiß ich leider nicht mehr WIE ich Brüche integriere!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2}=x^{-2} \end{eqnarray*}$ und schon ist der Bruch weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das wird mit der "normalen" Potenzregel integriert.

28.09.2006, 19:29

flasher

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Das habe ich mir auch schon gedacht!

Wenn ich einen Term integriere, erhöhe ich normalerweise den Exponenten um 1 und schreibe den Kehrwert des erhöhten Exponenten vor der Variable.

Das wäre aber dann:

$\begin{eqnarray*} x^{-2} = -\frac{1}{1}x^{-1} = -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und das stimmt laut Lösung nicht!

Ein kleiner Schups vielleicht noch? Big Laugh

Big Laugh

28.09.2006, 19:33

zweiundvierzig

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Dann Stimmt Deine "Lösung" nicht...

28.09.2006, 19:39

flasher

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Das sagt aber ein Diplom Mathematiker TU!

Bei ihm kommt raus:

$\begin{eqnarray*} x^{-2} = -\frac{1}{3x^3} \end{eqnarray*}$

28.09.2006, 19:51

Calvin

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Das ist definitiv falsch. Die Zahl -2 um 1 erhöht ist -1 und nicht -3

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28.09.2006, 20:35

Lazarus

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und insbesonders weil noch ein $\begin{eqnarray*} \int ~ .. ~ \mathrm dx \end{eqnarray*}$ aussen rum muss... denn im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2}\neq \frac{1}{-3x^3} \end{eqnarray*}$

28.09.2006, 20:49

flasher

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Ich schreibe jetzt nochmal die gesamte Gleichung hin:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + e^{3x}~dx \end{eqnarray*}$

Nach der Integration:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3x^3} + ln\mid x \mid + \frac{e^x}{3} + C \end{eqnarray*}$

Sicher, dass das falsch ist?

Danke euch!

Grüße,

Andi

28.09.2006, 20:59

Calvin

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Ja, das ist falsch. Richtig ist lediglich ln(|x|) und c am Ende. Die anderen beiden Summanden sind falsch.

28.09.2006, 21:14

flasher

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@ Calvin

Ich möchte nicht deine Kompetenz anzweifeln, aber das Skript (inkl. Lösung) stammt von einem Prof und die Vorlesung (und Berechnung) hat wie gesagt, der Diplom Mathematiker durchgeführt:

Was wäre denn deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ integriert?

$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ?

Danke! Das soll jetzt nicht unhöflich sein, aber ich kann das irgendwie nicht recht glauben, dass beide falsch liegen!

Jemand noch eine andere Meinung dazu?

28.09.2006, 21:17

Calvin

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Zitat:

Original von flasher
@ Calvin

Ich möchte nicht deine Kompetenz anzweifeln, aber das Skript (inkl. Lösung) stammt von einem Prof und die Vorlesung (und Berechnung) hat wie gesagt, der Diplom Mathematiker durchgeführt:

Auch Professoren und Diplom Mathematiker machen Fehler. Und das mit dem 1/x³ ist ein sehr gern gemachter Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+e^{3x}\,~{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{x}+\ln|x|+\frac{1}{3}e^{3x}+c \end{eqnarray*}$

28.09.2006, 21:17

derkoch

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Zitat:

Original von flasher
Ich schreibe jetzt nochmal die gesamte Gleichung hin:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{3x}~dx \end{eqnarray*}$

Nach der Integration:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{3} \end{eqnarray*}$

Andi

naja!

was Calvin meinte ist , schaue dir den zähler genauer an!
ich gehe von tippfehler aus!

28.09.2006, 21:29

flasher

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Darf ich nochmal kurz nachfragen:

Die Integration von
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{x}~dx = e^x + C \end{eqnarray*}$ laut Formelsammlung!

Calvin sagt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{3x}~dx = \frac{1}{3}e^x + C \end{eqnarray*}$

Was wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{2x- 1}~dx ? \end{eqnarray*}$

Mir fehlt die allgemeine Regel, wie es sie bei der Ableitung von Exponentialfunktionen (Kettenregel) gibt!

Ihr liefert einem Erstsemestler hier wirklich super Unterstützung Freude

Freude

28.09.2006, 21:36

Calvin

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Zitat:

Original von flasher
Calvin sagt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{3x}~dx = \frac{1}{3}e^x + C \end{eqnarray*}$

Nein

Augenzwinkern

Du hast eine 3 im Exponent vergessen. Ich sagte $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{3x}~dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ e^{2x- 1}~dx ? \end{eqnarray*}$

Die Funktion im Exponent ist linear, d.h. es kommt kein x² oder ähnliches vor. Deshalb gilt hier allgemein $\begin{eqnarray*} \int~e^{ax+b}\,{\mathrm{d}x}=\frac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+c \end{eqnarray*}$

28.09.2006, 21:43

flasher

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Kannst du das mal näher erklären?

Es sieht so aus, als wenn du den Exponenten ableitest und den Kehrwert vor der Variablen schreibst!

Wie ist zu verfahren, wenn der Exponent nicht mehr linear ist? also z.B. Quadratisch?

28.09.2006, 21:46

derkoch

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Zitat:

Original von flasher
Kannst du das mal näher erklären?

Es sieht so aus, als wenn du den Exponenten ableitest und den Kehrwert vor der Variablen schreibst!

jup

Zitat:

Original von flasher
Wie ist zu verfahren, wenn der Exponent nicht mehr linear ist? also z.B. Quadratisch?

allgemein schwer zu sagen! kommt immer auf die aufgabe an!
hilft aber meistens eine substitution des exponenten!

28.09.2006, 21:46

Calvin

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Zitat:

Original von flasher
Es sieht so aus, als wenn du den Exponenten ableitest und den Kehrwert vor der Variablen schreibst!

Umgangssprachlich ist es genau das. Das ist das Ergebnis, wenn du den "Umweg" über die Substitution $\begin{eqnarray*} u=ax+b \end{eqnarray*}$ gehst.

Wenn der Exponent nicht linear ist, hängt es davon ab, wie die Funktion genau aussieht. Entweder muss man eine geeignete Substitution finden oder auch partiell integrieren oder man kann das Integral nicht lösen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \int~e^{(x^2)}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

EDIT
Zwei Helfer, ein Gedanke Big Laugh

Big Laugh

28.09.2006, 21:51

Mazze

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So nebenbei:

Auch ein Diplommathematiker kann sich irren, auch wenn hier von einem Tipfehler ausgegangen wird. Ich hab auch schon oft falsche Musterlösungen von unseren WiMi's gesehen. Keiner ist Fehlerfrei Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Sicher, dass das falsch ist?

Definitiv falsch. Leite doch mal diese Funktion da ab, du wirst eine andere herausbekommen. Das ist das schöne beim Suchen der Stammfunktionen (sofern sie existieren). Du kannst selber überprüfen ob deine Lösung richtig ist. Wenn Du die Lösung des Diplommathematikers ableitest wird was anderes herauskommen als dort Integriert wurde (sofern du richtig ableitest).

28.09.2006, 21:54

flasher

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Ich glaube, ich kratze hier an noch nicht durchgenommen Stoff!

Partielle Integration und Substitution scheinen hier wohl die Verfahren zur Lösung solcher Probleme sein! Wurde schonmal in der Vorlesung angedeutet aber noch nicht durchgenommen.

Ich glaube ich werde mich erstmal mit linearen Exponenten begnügen!

Danke euch dreien!

Gruß,

Andi

P.S.: Ich habe Calvin seine Lösung und die Lösung des Profs nochmal abgeleitet. Calvin hat Recht!

14.01.2012, 22:13

RedManiac

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Hmmm... wie lautet denn die Stammfunktion von folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+2)^{3} } \end{eqnarray*}$

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