Ungleichheitszeichen dreht sich um

01.11.2009, 13:49

Kääsee

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Ungleichheitszeichen dreht sich um

Hey Leute, bin schon wieder am Verzweifeln-.-
folgende Aufgabe:
Für welche x-Werte sind die Funktionswerte größer als $\begin{eqnarray*} 10^6 \end{eqnarray*}$ ?
Die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=0,1x^4 \end{eqnarray*}$

Ich hab das so gemacht:
$\begin{eqnarray*} 0,1x^4>10^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4>10^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>\sqrt[4]{10^7} \end{eqnarray*}$

im Buch gibt es noch eine zweite Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} x<-\sqrt[4]{10^7} \end{eqnarray*}$ . Eigentlich ist das ja logisch, weil $\begin{eqnarray*} x^4=10^7 \end{eqnarray*}$ eine positive und eine negative Lösung hätte, aber warum dreht sich da das Ungleichheitszeichen um??

01.11.2009, 13:54

Q-fLaDeN

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x| \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 13:55

Romaxx

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Wenn man das Ergebnis wieder hoch 4 nimmt, multipliziert man implizit dreimal mit einer negativen Zahl.

Bei Ungleichungen dreht sich da das Vorzeichen um.

Gruß

01.11.2009, 14:09

Kääsee

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aaah danke smile

smile

LOL Hammer

hätt ich auch selbst draufkommen können...

01.11.2009, 14:23

Kääsee

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hmm... das ist echt verwirrend....
ich hab noch ne andere Aufgabe, die ich nicht verstehe. Die Aufgabenstellung ist die selbe.
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^{-5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^{-5}>10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^5} >10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3>10^6x^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10^6} >x^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{3*10^{-6} } > x \end{eqnarray*}$

die Lösung im Buch: $\begin{eqnarray*} 0 < x < \sqrt[5]{3*10^{-6}} \end{eqnarray*}$ Es gibt doch keine 2 Lösungen, weil der Exponent ungerade ist, oder? Und wo kommt die 0 her??
sry wenn ich mich blöd anstelle, aber ich checks grad wirklich nicht unglücklich

unglücklich

01.11.2009, 14:39

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Kääsee
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^5} >10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3>10^6x^5 \end{eqnarray*}$

"Zwischen" den beiden Schritten musst du eine Fallunterscheidung durchführen.

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01.11.2009, 14:51

Kääsee

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Gott

ich hasse Fallunterscheidungen Big Laugh

Big Laugh

die vergess ich immer
ok, also
1.x<0

$\begin{eqnarray*} 3<10^6x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3*10^{-6}<x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{3*10^{-6}}<x \end{eqnarray*}$

2.x=0
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L= \end{eqnarray*}$ {}

3.x>0
das ist das, was ich schon vorher gemacht habe, richtig?

Ich glaub, das ist alles falsch, oder? Da kommt jetzt ja auch nix mit 0 raus unglücklich

unglücklich

ach, ich kann sowas nicht ...

01.11.2009, 15:30

Kääsee

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hm, anhand von dem Bild würde ich sagen
$\begin{eqnarray*} 0 < x < \sqrt[5]{3*10^{-6} } \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 0>x>-\sqrt[5]{3*10^{-6} } \end{eqnarray*}$

??
edit: ach nee, das zweite ist falsch -.- da sind die Funktionswerte ja kleiner als -10^6

01.11.2009, 17:09

Kääsee

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traurig

Heey, kann mir das denn keiner erklären?

01.11.2009, 20:51

Gualtiero

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Zitat:

Original von Kääsee
1.x<0

$\begin{eqnarray*} 3<10^6x^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*10^{-6}<x^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{3*10^{-6}}<x \end{eqnarray*}$

Du musst unbedingt Voraussetzung und das Ergebnis, das unter dieser Voraussetzung gilt, mit UND ( $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ) verbinden.

Also $\begin{eqnarray*} \,\,\,\,x < 0 \wedge \sqrt[5]{3*10^{-6}}<x \longrightarrow \sqrt[5]{3*10^{-6}}<x<0 \end{eqnarray*}$

Fall 2 : x = 0 ist nicht falsch, aber nicht wichtig, weil er ohnehin ausgeschlossen wird.

Wichtig ist Fall 3. Mach das wie ich im Fall 1, also Voraussetzung und Ergebnis mit UND verbinden.

Wink

Wink

02.11.2009, 14:12

Kääsee

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$\begin{eqnarray*} x>0\wedge\sqrt[5]{3*10^{-6}} >x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<x<\sqrt[5]{3*10^{-6}} \end{eqnarray*}$
??? Das wär doch aber unlogisch, wenn x einmal kleiner $\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{3*10^{-6}} \end{eqnarray*}$ und einmal größer wär unglücklich

unglücklich

außerdem wär doch bei dem ersten Fall $\begin{eqnarray*} 0>\sqrt[5]{3*10^{-6}} \end{eqnarray*}$ und das stimmt doch nicht!!

02.11.2009, 16:41

Gualtiero

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Sorry, ich war in Gedanken noch beim vorigen Beispiel mit geraden Hochzahlen. Deshalb ist das ungeschickt formuliert.

Fall 1 ergibt die Leere Menge.

$\begin{eqnarray*} x < 0 \wedge \sqrt[5]{3*10^{-6}}<x \longrightarrow Leere Menge. \end{eqnarray*}$

Ist auch logisch. Wie man am Bild des Graphen von Q-fLaDeN sieht, sind die Funktionswerte bei x < 0 ja negativ, Du suchst aber Funktionswerte $\begin{eqnarray*} > 10^6. \end{eqnarray*}$

Die gibt es nur im Fall 3, x > 0; die Lösungsmenge lautet: $\begin{eqnarray*} \,\,\,\,0<x< \sqrt[5]{3*10^{-6}} \end{eqnarray*}$

Ciao

02.11.2009, 17:48

Kääsee

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gut danke. Ihr habt mir sehr geholfen smile

smile

03.11.2009, 14:41

Kääsee

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Hi! Da bin ich schon wieder Big Laugh

Big Laugh

Dank eurer Hilfe hab ich alle Teilaufgaben dieser Aufgabe jetzt hinbekommen, aber jetzt muss ich euch leider schon wieder nerven...
Es gibt noch eine Aufgabe 2!:
Für welche x-Werte sind die Funktionswerte kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{-9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=10^9*x^{-7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{10^9}{x^7} <10^{-9} \end{eqnarray*}$
______________________________

1.x>0

$\begin{eqnarray*} 10^{18}<x^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[7]{10^{18}} <x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>0 \wedge \sqrt[7]{10^{18}} \Rightarrow x>\sqrt[7]{10^{18}} \end{eqnarray*}$

_______________________________

2.x<0

$\begin{eqnarray*} \sqrt[7]{10^{18}}<x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>0 \wedge \sqrt[7]{10^{18}} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

_______________________________
so. Aber die beiden Lösungen wiedersprechen sich doch gegenseitig, oder? Gibt es dann keine Lösung oder ist nur eins von den beiden richtig? Das Buch hat nur das erste als Lösung angegeben.

05.11.2009, 13:17

Kääsee

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Bitte hilf mir doch jemand!! traurig

traurig

05.11.2009, 14:46

Q-fLaDeN

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Das ganze läuft doch immer nach dem gleichen Prinzip ab.

Der 1. Fall ist richtig. Jedoch hast du beim 2. Fall anscheinend irgendeinen Kopierfehler oder so gemacht, denn da steht fast genau das gleiche nochmal. Außerdem stimmt die Folgerung nicht.

05.11.2009, 17:54

Kääsee

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Danke danke danke für die Antwort Wink

Wink

ich hab beim 2. Fall ein paar zeichen verdreht...
ich habs so gemeint:
x<0
$\begin{eqnarray*} x<\sqrt[7]{10^{18}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x<\sqrt[7]{10^{18}} \wedge 0 \Rightarrow x<0 \end{eqnarray*}$

kann das jetzt stimmen? weil sich die Lösungen vom 1. und 2. Fall wiedersprechen.

06.11.2009, 00:33

_t

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hi kääsee,

hast dir dein ergebnis auf der zahlengerade mal angesehen.
den bereich den x nicht annehmen darf.

zur probe mal in die ursprüngliche ungleichung einsetzen.
(x<0 ist ok).

grüße

_t

06.11.2009, 14:19

Kääsee

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Hi!
Meinst du, dass ich mir den Graph mal ansehen soll??

und den Bereich, den x nicht einnehmen darf..? verwirrt

verwirrt

x darf nicht 0 sein?!
Tut mir leid, ich versteh nicht so ganz, was du meinst..
Anhand von dem Graph würde ich sagen, x<0 als Lösung stimmt, denn dort sind ja alle Funktinoswerte kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{-9} \end{eqnarray*}$ , weil sie kleiner als 0 sind... Aber warum steht dann nur die andere Lösung im Buch?!
LG Kääsee

edit: Jetzt merk ichs erst!!! Hammer

Hammer

das ist ja gar kein Wiederspruch!! x kann entweder >wurzel irgendwas sein oder <0!! man siehts doch am Graph! wie doof kann mein sein-.- und ich nerve euch mit diesem unnötigen zeugs! pff-.- sry leutz!
trotzdem interessiert mich noch, wieso die im Buch nur die eine Lösung haben...

08.11.2009, 11:31

Gualtiero

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Hi!
(Hab' wieder Zeit für das MB, nachdem der Besuch fort ist.)

Zitat:

x darf nicht 0 sein?!

Richtig erkannt.

Zitat:

trotzdem interessiert mich noch, wieso die im Buch nur die eine Lösung haben...

Wir haben ja schon einmal gesehen, dass in Eurem Buch Druckfehler vorkommen, so wird es auch diesmal sein.
Hauptsache ist, dass Du die Aufgaben verstanden hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

und gute Besserung

08.11.2009, 17:31

Kääsee

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Zitat:

Wir haben ja schon einmal gesehen, dass in Eurem Buch Druckfehler vorkommen, so wird es auch diesmal sein.
Hauptsache ist, dass Du die Aufgaben verstanden hast. Augenzwinkern

komisch ist nur, dass genau dieser "Fehler" bei zwei Aufgaben vorkommt... verwirrt

verwirrt

naja egal

smile

Zitat:

Wink und gute Besserung

dankeschön Wink

Wink

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