Volumen von Tetraeder berechnen mit sukzessiver Integration

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smiiile Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Tetraeder berechnen mit sukzessiver Integration
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben.

[attach]11740[/attach]

Das Problem liegt darin, dass ich keine Funktion finde, die diesen Tetraeder beschreibt. Hätte ich die, könne ich darüber ja sukzessive integrieren...

Kennt jemand die Funktion oder einen Weg, wie man sie finden kann?

Ich weiß, dass als Flächeninhalt 1/6 rauskommen muss. Das kann man ja ganz normal mit Volumen = *Grundseite*Höhe berechnen.

Ich habe jetzt noch eine Alternativlösung. Die geht allerdings nicht mit sukzessiver Integration. Und es kommt auch nicht das richtige Ergebnis raus. Das ist allerdings der einzige Ansatz, den ich bis jetzt habe.

Man nimmt also einfach Quader, die man innen in den Tetraeder reinsetzt und macht dann eine Art Treppenfunktion, die man immer weiter verfeinert. Man fängt mit einem Quader der Seitenlänge 0,5 an und macht dann immer mit Quadern mit der halben Seitenlänge weiter. So müsste man ja den Tetraeder annähern können.

Ich hänge die Lösung einmal an.
[attach]11741[/attach]

Allerdings kommt hier das falsche Ergebnis nämlich raus. Ich komme allerdings auf , wenn ich diese Methode nur für die Grundfläche anwende, also nicht nach oben stapele... Dann habe ich nämlich statt der 3 eine zwei und komme auf das gewünschte Ergebnis. Logisch macht das für mich aber keinen Sinn.

Würde mich über Antworten freuen
smiiile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Punkte bestimmen eine Ebene . Deren Gleichung mußt du aufstellen (wie in der Schule). Die Auflösung nach gibt dir die gesuchte Funktion: . Integrationsgebiet ist das Dreieck (mit als Ursprung).
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe die Ebene einmal aufgestellt. Müsste stimmt, oder?

Dann habe ich das ganze nach z aufgelöst und dann integriert.

[attach]11746[/attach]

Allerdings kommt noch das falsche Ergebnis raus, also stimmt wohl etwas noch nicht. Bei der sukzessiven Integration bin ich mir noch etwas unsicher. Stimmt das so?
Ich ziehe einfach das y vor das zweite Integral, weil es eine Konstante ist. Muss ich die Zahl auch vorziehen oder nicht?

Ich habe sie jetzt einmal hinten gelassen. Und dann jeweils von 0 bis 1 integriert.

Allerdings integriere ich ja dann über ein Quadrat als Grunfläche und ich brauche doch ein Dreieck als Grundfläche. Wie bekomme ich das denn hin?

Gruß,
smiiile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß du bei der Ebenengleichung nicht stutzig geworden bist! (Und später hast du aus auch noch gemacht! Gruselig!)

Da die Koordinaten der Punkte durch zyklische Vertauschung auseinander hervorgehen, erwartet man doch auch eine Gleichung, bei deren Koeffizienten das der Fall ist. Mit anderen Worten: müssen denselben Koeffizienten tragen. Da es auf die Länge des Normalenvektors nicht ankommt, kann man dafür wählen. Bleibt nur noch der Koeffizient der rechten Seite offen. Ansatz also: . Und die Probe etwa mit zeigt: . Die Ebene hat also die Gleichung , folglich gilt



Und wenn du schon bei der Herleitung so stur rechnest, warum machst du dann nicht zumindest hinterher die Probe? Das ist ja im Nu erledigt und hätte dir sofort gezeigt, daß dein Ergebnis falsch ist (der Fehler liegt übrigens bei der Berechnung des Normalenvektors). Stattdessen rechnest du mit einem völlig falschen Ergebnis weiter. Ehrlich gesagt, ich verstehe die Leute nicht!

Du darfst nicht über das gesamte Quadrat der -Ebene integrieren. Eine Zeichnung zeigt, daß dann die Hälfte der Ebenenfläche unterhalb der -Ebene liegt. Dieser Teil des Volumens geht negativ in die Rechnung ein, und aus Symmetriegründen muß dann das Integral den Wert 0 haben:



(Das ist genauso wie eine Dimension tiefer. Flächenstücke zwischen dem Graphen und der -Achse werden bei der Integration negativ gewichtet, wenn sie unterhalb der -Achse liegen.)

Du mußt also über das Dreieck integrieren. Die -Koordinate der Punkte von schwankt zwischen 0 und 1. Du kannst also die Integration so beginnen:



Bei der inneren Integration (der über ) kannst du nicht mehr über das ganze Intervall integrieren. Als Beispiel wähle . Wenn du jetzt z.B. wählst, so liegt der Punkt nicht mehr in . Die -Werte sind also in Abhängigkeit von nach oben beschränkt. Was wäre im Beispiel der maximale -Wert? Und was ist bei allgemeinem der maximale -Wert?

Dann kannst du endlich integrieren:

smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Ich habe meinen Fehler in der Rechnung gefunden. Da war ich wohl echt unkonzentriert. Sorry.
Ich habe jetzt das richtige Ergebnis raus.
Unten hänge ich mal noch die Rechnung an.

Zitat:
Du darfst nicht über das gesamte Quadrat der -Ebene integrieren. Eine Zeichnung zeigt, daß dann die Hälfte der Ebenenfläche unterhalb der -Ebene liegt. Dieser Teil des Volumens geht negativ in die Rechnung ein, und aus Symmetriegründen muß dann das Integral den Wert 0 haben:



(Das ist genauso wie eine Dimension tiefer. Flächenstücke zwischen dem Graphen und der -Achse werden bei der Integration negativ gewichtet, wenn sie unterhalb der -Achse liegen.)


Ja, genau. Das weiß ich. Und deshalb hatte ich Probleme mit den Grenzen, weil ich ja nicht über das ganze Quadrat integrieren will, weil sonst 0 rauskommt.

Zitat:
Bei der inneren Integration (der über ) kannst du nicht mehr über das ganze Intervall integrieren. Als Beispiel wähle . Wenn du jetzt z.B. wählst, so liegt der Punkt nicht mehr in . Die -Werte sind also in Abhängigkeit von nach oben beschränkt. Was wäre im Beispiel der maximale -Wert? Und was ist bei allgemeinem der maximale -Wert?


Also ich habe mir das mal aufgezeichnet. Und wenn ich bei x bis 0,6 integriere, darf ich bei y nur bis 0,4 integrieren, weil ich sonst aus dem Dreieck rausfalle.

Wenn ich mir das allgemein überlege, gilt ja x+y=1. Dann gilt also x=1-y und y=1-x.

Welches von den beiden muss ich den einsetzen?

Ich integrier ja in der äußeren Klammer über x und in der inneren Klammer über y.
Also müsste ich dann von 0 bis 1-x integrieren in der inneren Klammer, oder?

Könnte ich dann auch in der äußeren Klammer von 0 bis 1 in y integrieren und dann in der inneren Klammer von 0 bis 1-y in x integrieren?

Ich habe meine Rechnung mal angehängt. Jetzt kommt auch raus.


[attach]11752[/attach]

Was meinst du dazu?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung stimmt jetzt, allerdings mit einem formalen Fehler: Summen als Integranden gehören geklammert. Also so:



Und du darfst auch die Integrationsreihenfolge vertauschen, außen über , innen über . In diesem speziellen Fall geht das auch formal gleich. In andern Fällen kann es aber durchaus sein, daß die eine Integrationsreihenfolge geschickter als die andere zu rechnen ist. Auf jeden Fall kommt dasselbe heraus, solange der Integrand vernünftig ist. Stetigkeit ist auf jeden Fall hinreichend.

Man kann die Rechnung auch ein bißchen anders gestalten, etwa so:



 
 
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also ich habe alles verstanden und nachgerechnet, außer einem Rechenschritt von dir:

Zitat:


Wie machst du in diesem Schritt aus zwei Integralen plötzlich drei? Also mir ist klar, dass man 1-x vor das Integral ziehen darf, weil es Konstanten sind, wenn man über y integriert. Aber warum integrierst du dann über 1 und ziehst dann noch das Integral über y ab? Das wäre doch dann 1-y und -y ist doch 0-y...?

Man kann ja aus zwei Integralen drei machen, wenn man sie z.B. auseinanderzieht, nur die 1 im Integral in der Mitte verwirrt mich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Das besagt ja die Linearität des Integrals.
Das meinte ich mit

Zitat:
Man kann ja aus zwei Integralen drei machen, wenn man sie z.B. auseinanderzieht

Nur eben nicht so mathematisch formuliert Augenzwinkern

Nur ist wenn wir 1-x vor das Integral ziehen, doch nur noch -y übrig.

Also



Was mich stört ist diese 0. Du hattest statt der 0 einfach gar nichts stehen. Und ich dachte, das bedeutet, dass an der Stelle eine 1 steht.
Wenn da aber 0 steht, könnte man das mittlere Integral doch einfach weglassen denn

0-y =-y

oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



markus.81 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen von Tetraeder berechnen mit sukzessiver Integration
hallo,

ich habe diesen alten artikel mal aufgegriffen in der hoffnung das volumen eines "tetraeders" mit den werten (10,0,0) (0,10,0) (0,0,2) ausrechnen zu können. ich weiss, dass die seiten nicht gleich lang sind und somit es vielleicht gar kein tetraeder ist. analog zu der vorgestellten rechnung habe ich folgendes ausgerechnet. (siehe anhang!)

ich bin mir sehr unsicher bei den grenzen. passen die so?

das ergebnis ist negativ. ist es betragsmäßig zu sehen oder stimmt der rechenweg nicht?

danke für eure antwort!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von markus.81
ich weiss, dass die seiten nicht gleich lang sind und somit es vielleicht gar kein tetraeder ist.

Es ist kein reguläres Tetraeder, das ist wahr.

Aber dein erstes Tetraeder (siehe oben) ist auch nicht regulär: Es hat drei Kanten der Länge und drei Kanten der Länge .


P.S.: Manche bezeichnen mit "Tetraeder" allerdings nur reguläre Tetraeder - die Autoren dieser Aufgabe hier zählen aber offensichtlich nicht dazu. Augenzwinkern
markus.81 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen von Tetraeder berechnen mit sukzessiver Integration
ja vielen dank für den hinweis. jedoch beantwortet dies leider noch nicht meine frage! seht euch doch bitte mal die rechnung an und sagt mir, ob ich richtig liege! DANKE
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