Konvergenz einer Reihe und Folge

01.11.2009, 16:11

Philipp Imhof

Konvergenz einer Reihe und Folge

Hallo!

Beim Lösen einer Aufgabe zum o.g. Thema bin ich gerade dabei, mir selbst zu widersprechen, kann aber den Fehler nicht finden. Sei $\begin{eqnarray*} a_n:=(-1)^n(1+\frac1n) \end{eqnarray*}$ . Ich soll die (unendliche) Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ und die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen.

Zuerst hatte ich mir die Folge vorgenommen. Diese kann ich in zwei Teilfolgen splitten, nämlich für gerade und ungerade Indizes. Die Teilfolge mit geraden Indizes konvergiert gegen 1, diejenige mit den ungeraden gegen -1. Damit divergiert die Folge.

Bei der Reihe habe ich das Quotientenkriterium angewendet und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right|<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

Also ist die Reihe absolut konvergent und damit konvergent.

Nur: In meinem Buch steht (natürlich), dass die Folge der Glieder einer konvergenten Reihe immer eine Nullfolge ist. Insofern ist meine Lösung nicht kohärent.

Ich habe mir dann überlegt, dass hier ja eine alternierende Reihe vorliegt und die Summanden irgendwann anfangen, sich gegenseitig aufzuheben. Aber im erwähnten Satz steht "ist die Reihe" -- alternierende Reihen sind da nicht ausgeschlossen worden.

Wo liegt also der Überlegungsfehler?

Danke!

01.11.2009, 16:27

Romaxx

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Die Divergenz der Folge ist richtig begründet.

Schau dir aber noch einmal das Quotientenkriterium genau an. Hier hast du einen Fehler. Wie du auf $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right| \end{eqnarray*}$ kommst, ist mir dennoch ein Rätsel.

Zitat:

In meinem Buch steht (natürlich), dass die Folge der Glieder einer konvergenten Reihe immer eine Nullfolge ist.

Dies ist eine notwendiges Kriterium für konvergente Reihe. Da dies nicht der Fall ist, die die zu untersuchende Reihe divergent.

01.11.2009, 16:32

gonnabphd

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dein quotient konvergiert gegen eins, deshalb ist das qoutientenkriterium nicht brauchbar.
du brauchst ein festes q<1 s.d. |a(n+1)/a(n)|<q ist!

01.11.2009, 16:42

Philipp Imhof

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Danke für den Hinweis; ich habe das jetzt im Buch nochmal durchgelesen und gesehen, dass hier das Quotientenkriterium nicht angewandt werden kann.

Auf $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right| \end{eqnarray*}$ bin ich so gekommen:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}|=|(-1)^n|\cdot\left|\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\right|=\left|\frac{n+2}{n+1}\right| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} |a_n|=|(-1)^n|\cdot\left|\left(1+\frac1n\right)\right|=\left|\frac{n+1}{n}\right| \end{eqnarray*}$

Also das eine durch das andere dividiert:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{n+2}{n+1}\right|\cdot\left|\frac{n}{n+1}\right|=\left|\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right| \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 16:46

Romaxx

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Passt

. Hätte intuitiv nicht gedacht, dass da soviele Umformungen dirn sind.

Gruß

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