Matrizen-Beweis

01.11.2009, 16:22

aiead2002

Matrizen-Beweis

Edit (mY+): KEINE Hilferufe in der Überschrift bitte! Entfernt.

Guten Tag!

Ich habe einen Übungszettel bekommen und hab es auch soweit bearbeitet. Aber bei folgende Aufgabe weiß ich nicht, ob ich es richtig gemacht habe.

Aufgabe)
Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: Die Vielfachen der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} En \end{eqnarray*}$ sind genau die $\begin{eqnarray*} n x n \end{eqnarray*}$ -Matrizen, die mit allen anderen $\begin{eqnarray*} n x n \end{eqnarray*}$ -Matrizen, kommutieren, d.h. es gilt folgends:

(a) Für $\begin{eqnarray*} (\lambda En)B = B(\lambda En) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ .
(b) Ist $\begin{eqnarray*} A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} AB = BA \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \lambda En \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung:

Für $\begin{eqnarray*} A = (aij \in K^{nxn} und B = (bjk) \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} A*B = (cik) \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} cik = \sum_{j=1}^n~aij bjk (i = 1, ..., n k=1, ..., n) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ folg:

Eine Einheitsmatrix (Vielfache der Einheitsmatrix En) von A:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wird mit eine beliebige $\begin{eqnarray*} K^{nxn} \end{eqnarray*}$ -Matrix B multipliziert:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit gilt die Aussage (a) und (b) (siehe oben)

Habe ich die Aufgabe richtig gelöst? Wenn das nicht der Fall ist, bitte sagt mir was ich wo falsch gemacht habe.

Danke für eure Hilfe.

LG

01.11.2009, 16:27

Seren

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Meiner Meinung nach ist das nicht allgemein genug. Der spezielle Fall $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ reicht hier nicht aus, um es zu beweisen. Versuche besser mit der Zeilenentwicklung der $\begin{eqnarray*} c_{ik} \end{eqnarray*}$ zu arbeiten, die die Einträge deiner Matrix $\begin{eqnarray*} C= A\cdot B = B \cdot A \end{eqnarray*}$ darstellen.

01.11.2009, 17:53

aiead2002

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@ Seren
Erstmal danke für deine Antwort.

Ich könnte auch einen Beispiel mit n=4 und n=5 machen. Würde das dann reichen bzw. würde das dann allgemeiner als wenn ich nur mit n=3 rechne?

Dein Vorschlag, ich sollte mehr an cij arbeiten, kann ich nicht verstehen. Kannst du mir bitte erklären was du damit meinst?!

Danke

01.11.2009, 18:18

Seren

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Dann musst du das aber auch für die Fälle $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ auch zeigen Augenzwinkern

Das könnte etwas länger dauern Big Laugh

Leichter ist es mit der Kommutativität der Multiplikation eines Skalars mit der Einheitsmatrix zu argumentieren. Wenn ich noch mehr verraten würde, wäre das schon die Lösung. Also versuchs mal Augenzwinkern

01.11.2009, 18:25

aiead2002

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Ok^^

ich glaube ich habs.

Ich mache das einfach mit Buchstaben, dann wäre das allgemein.
Ich mach das was ich meine und dann gucken wir weiter.

Danke

01.11.2009, 18:54

aiead2002

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Also ich meine folgende Bearbeitung der Aufgabe ist Allgemein:

Sei $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , somit ist eine Einheitsmatrix
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot En =\begin{pmatrix} \lambda\cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist eine x beliebige Matrix
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis auf Kommutativität

$\begin{eqnarray*} (\lambda En)\cdot B = B \cdot (\lambda En) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda E_3)\cdot B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda \cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b & \lambda c \\ \lambda d & \lambda e & \lambda f \\ \lambda g & \lambda h & \lambda i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \cdot (E_3\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda \cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\lambda & b\lambda & c\lambda \\ d\lambda & e\lambda & f\lambda \\ g\lambda & h\lambda & i\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b & \lambda c \\ \lambda d & \lambda e & \lambda f \\ \lambda g & \lambda h & \lambda i \end{pmatrix} <=> \begin{pmatrix} a\lambda & b\lambda & c\lambda \\ d\lambda & e\lambda & f\lambda \\ g\lambda & h\lambda & i\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit müsste wohl allgemein bewiesen sein, dass $\begin{eqnarray*} (\lambda En)\cdot B = B \cdot (\lambda En) \end{eqnarray*}$ oder?????

Wäre das jetzt nur Aufgabenteil (a) oder auch (b) ????

01.11.2009, 19:26

aiead2002

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Endgültige Bearbeitung!^^

Sei $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , somit ist eine Einheitsmatrix
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot En =\begin{pmatrix} \lambda\cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist eine x beliebige Matrix
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis auf Kommutativität

$\begin{eqnarray*} (\lambda En)\cdot B = B \cdot (\lambda En) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda E_3)\cdot B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda \cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda b_{11} & \lambda b_{12} & \lambda b_{13} \\ \lambda b_{21} & \lambda b_{22} & \lambda b_{23} \\ \lambda b_{31} & \lambda b_{32} & \lambda b_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \cdot (E_3\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda \cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda \cdot 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}\lambda & b_{12}\lambda & b_{13}\lambda \\ b_{21}\lambda & b_{22}\lambda & b_{23}\lambda \\ b_{31}\lambda & b_{32}\lambda & b_{33}\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda b_{11} & \lambda b_{12} & \lambda b_{13} \\ \lambda b_{21} & \lambda b_{22} & \lambda b_{23} \\ \lambda b_{31} & \lambda b_{32} & \lambda b_{33} \end{pmatrix} <=> \begin{pmatrix} b_{11}\lambda & b_{12}\lambda & b_{13}\lambda \\ b_{21}\lambda & b_{22}\lambda & b_{23}\lambda \\ b_{31}\lambda & b_{32}\lambda & b_{33}\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit müsste wohl allgemein bewiesen sein, dass $\begin{eqnarray*} (\lambda En)\cdot B = B \cdot (\lambda En) \end{eqnarray*}$ oder?????

Wäre das jetzt nur Aufgabenteil (a) oder auch (b) ????

01.11.2009, 21:17

Seren

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Zitat:

Original von aiead2002
$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

NICHT allgemein.

02.11.2009, 00:25

aiead2002

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ok ^^
dann,
Sei eine nxn Matrix, somit ist eine Einheitsmatrix

Lambda En =
L = Lambda

L 0 0
0 L 0
0 0 L

B ist eine x beliebige Matrix

b_11 ... b_1k ... b_1n
b_21 ... b_2k ... b_2n
... ... ...
b_n1 ... b_nk ... b_mn

A mit B multiplizieren:

A * B =
Lb_11 ... Lb_1k ... Lb1n
Lb_21 ... Lb_2k ... Lb2n
... ... ...
Lb_n1 ... Lb_nk ... Lb_mn

B * A ergibt dann dasselbe.

Und jetzt? Big Laugh

^^

Danke für die Hilfe.

02.11.2009, 00:31

Seren

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Ich dachte deine Matrix B soll $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein.

Da ich sehe, dass du überhaupt nicht weiterkommst, gebe ich dir noch einen Tipp. Sieh mal von den Beispielen für $\begin{eqnarray*} n= 3,4,5 \end{eqnarray*}$ ab, denn das führt zu nichts, du musst es nämlich ganz allgemein beweisen.

Der Anfang ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot E_n \cdot B = ? \end{eqnarray*}$

Schau mal, dass du damit weiterkommst.

02.11.2009, 00:50

aiead2002

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Das ist gleich:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot E_n \cdot B = \lambda c_{ij} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot E_n \cdot B = \lambda b_{ij} \end{eqnarray*}$

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