Sigma-Algebra

01.11.2009, 16:43	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra Sei $\begin{eqnarray} \Omega=(-100,100] \end{eqnarray}$ . Betrachten Sie die Menge $\begin{eqnarray} \mathcal B:=\{(a,b]\|a,b\in\Omega\} \end{eqnarray}$ der halboffenen Intervalle. Sei nun die Menge der endlichen Vereinigungen von Elmenten aus $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ wie folgt definiert $\begin{eqnarray} \mathcal A:=\left\{ A\in\mathcal P(\Omega)\|\exists A_1,...,A_n \in \mathcal B \text{ mit } A=\bigcup_{j=1}^n A_j\right\} \end{eqnarray}$ Handelt es sich um eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra? Antwort: Nein, da $\begin{eqnarray} \Omega \notin \mathcal A \end{eqnarray}$ Ich kann mit keiner endlichen Vereinigung $\begin{eqnarray} \bigcup_{j=1}^n A_j \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ konstruieren. Was meint ihr dazu? Gruß
01.11.2009, 17:50	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ kommen aus $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , also wähle $\begin{eqnarray} a=-100 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=100 \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} A:=(-100,100]\in\mathcal B \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A \end{eqnarray}$ . Bemerke: $\begin{eqnarray} A=\Omega \end{eqnarray}$ .
01.11.2009, 17:52	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh doch, das kannst du: $\begin{eqnarray} \Omega = \bigcup_{j = 1}^{1} {A_j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_1 = (-100, 100] \end{eqnarray}$ Edit: Ah zu spät, sorry dafür ...
01.11.2009, 17:57	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo system-agent und ChrisB, danke für eure Posts. Wie kommt Ihr auf $\begin{eqnarray} a=-100 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist ein Element aus dem halboffenen Intervall $\begin{eqnarray} (-100,100] \end{eqnarray}$ . Demzufolge kann es nicht als $\begin{eqnarray} -100 \end{eqnarray}$ gewählt werden. Oder? Ich hoffe ich hab kein Brett vorm Kopf. Gruß
01.11.2009, 18:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt, es ist halboffen. Wer lesen kann ist klar im Vorteil . Dann geht es wohl doch nicht.

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