Folge von Ereignissen

01.11.2009, 18:28	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge von Ereignissen Zeigen Sie $\begin{eqnarray} P(\lim\inf A_n)\leq \lim\inf P(A_n)\leq \lim\sup P(A_n)\leq P(\lim\sup A_n) \end{eqnarray}$ () wobei $\begin{eqnarray} \lim\inf A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim\sup A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k \end{eqnarray}$ für eine Folge von Ereignissen $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ aus einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal F, P) \end{eqnarray}$ . Es gilt ja: $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=1}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=1,2,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=2}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=2,... \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=l}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=l,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(\bigcup_{n=1}^m\bigcap_{k=n}^\infty A_k)\leq P(A_i)\quad, i=m,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(\lim\inf A_n)\leq\lim\inf P(A_n) \end{eqnarray}$ Das Ungleichheitszeichen in der Mitte von () ist klar. Das rechts geht in etwa analog zu dem gerade. Was sagt ihr dazu? Edit: Falsches Forum . Wäre ein Moderator so nett und verfrachtet mich in Stochastik? Schon passiert, system-agent Gruß
01.11.2009, 19:46	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also in (*) sind erstmal alle Ungleichungszeichen falschrum(auch sonst in deinem Beweis) Aber naja das ist ja nur falsch abgeschrieben. Deinen letzten und vorletzten Schritt verstehe ich noch nicht ganz. Wie genau führst du den Grenzvorgang durch? Ist die Aussage nicht falsch wenn man i=m+1 wählt? (jetzt mal von den falschen Ungleichungszeichen abgesehen) Meine Lösung von der Aufgabe benutzt um einiges mehr Theorie, also entweder hab ich mal wieder mit Kanonen auf Spatzen geschossen oder deiner ist falsch
01.11.2009, 20:44	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kiste, danke für's drüberschaun. Musste vorhin etwas schnell gehn. Hab die kleinen formalen Fehler ausgemerzt. Dazu gehört auch anstelle eines $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ 's ein $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ nach der ersten Folgerung. Die Sache ist die. Ich denke bei den Ausführungen $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=1}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=1,2,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=2}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=2,... \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \bigcap_{k=l}^\infty A_k\subseteq A_i\quad,i=l,... \end{eqnarray}$ stimmst du mir zu. Meine erste Folgerung beruht nun darauf, dass ich obiges Schema bis $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ durchführe und diese $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Schnitte eben vereinige, also $\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^m\bigcap_{k=n}^\infty A_k \end{eqnarray}$ . Hierbei gilt immer noch $\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^m\bigcap_{k=n}^\infty A_k\subseteq A_i\quad, i=m,... \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Monotonie gilt aber dann $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(\bigcup_{n=1}^m\bigcap_{k=n}^\infty A_k)\leq P(A_i)\quad, i=m,... \end{eqnarray}$ Nun ist die rechte Seite noch interessant, da sie bisher noch wenig mit $\begin{eqnarray} \lim\inf \end{eqnarray}$ zu tun hat. Die obige Ungleichung gilt für alle $\begin{eqnarray} i=m,... \end{eqnarray}$ . Nehme ich von diesen $\begin{eqnarray} P(A_i), i=m,... \end{eqnarray}$ das Infimum, so bleibt die Ungleichung erhalten. Lasse ich $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ nun gegen unendlich gehen, bleibt diese Ungleichung ebenfalls erhalten. Was sagst du nun? Gruß
01.11.2009, 21:26	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich sehe jetzt nicht wo es schief gehen könnte, auch wenn ich die Definition von $\begin{eqnarray} \liminf_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray}$ nicht als $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \inf_{i\geq n} a_i \end{eqnarray}$ kenne. Da sollte vllt. nochmal jemand drüber schauen

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