Identität mittels komplexer Zahlen nachweisen

01.11.2009, 18:38

Rasta89

Identität mittels komplexer Zahlen nachweisen

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen in der Überschrift. Das wird entfernt. Besser aussagekräftigen und relevanten Titel erstellen! Titel modifiziert.

Hallo,
Ich studiere seit diesem Jahr Mathematik und kann eine Übungsaufgabe die wir im Unterricht behandelt hatten nicht mehr nachvollziehen. Bitte helft mir !!!

Man zeige mit der Hilfe komplexer Zahlen die Identitäten.

$\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha) = 8\cos^{4} (\alpha ) -8\cos^{2} (\alpha ) + 1 \end{eqnarray*}$

Der Schritt den ich nicht verstehe ist folgender:

$\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha) = Realteil(\cos(4\alpha)+ i\sin(4\alpha ) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = Realteil(\cos(\alpha )+ i\sin(\alpha ) )^{4} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Rasta89

01.11.2009, 19:53

klarsoweit

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RE: Brauche Hilfe bei komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Rasta89
$\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha) = Realteil(\cos(4\alpha)+ i\sin(4\alpha ) ) \end{eqnarray*}$

Also das sollte klar sein.

Zitat:

Original von Rasta89
$\begin{eqnarray*} = Realteil(\cos(\alpha )+ i\sin(\alpha ) )^{4} \end{eqnarray*}$

Und hier fehlt eine Klammer:

$\begin{eqnarray*} = Realteil \left( (\cos(\alpha )+ i\sin(\alpha ) )^{4} \right) \end{eqnarray*}$

Der fehlende Zwischenschritt ist:

$\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha)+ i\sin(4\alpha ) = e^{i \cdot 4 \alpha} = \left(e^{i \cdot \alpha} \right)^4 = ... \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 13:17

Rasta89

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Tut mir Leid ich versteh den Schritt von $\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha ) = Realteil(\cos(4\alpha ) +i\sin(4\alpha ) ) \end{eqnarray*}$ nicht. Vielleicht könntest du mir es etwas genauer erklären, wäre echt toll. Und warum spielen die Klammern die du zusätzlich gesetzt hast eine Rolle ?

02.11.2009, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rasta89
Tut mir Leid ich versteh den Schritt von $\begin{eqnarray*} \cos(4\alpha ) = Realteil(\cos(4\alpha ) +i\sin(4\alpha ) ) \end{eqnarray*}$ nicht.

Heidinei!

Was ist der Realteil von 2 + 3i ?
Was ist der Realteil von hugo + otto * i ?

Zitat:

Original von Rasta89
Und warum spielen die Klammern die du zusätzlich gesetzt hast eine Rolle ?

Die dienen nur zur Klarstellung: erst den Krempel hoch 4 nehmen und dann den Realteil nehmen. Es könnte auch andersherum verstanden werden.

03.11.2009, 18:16

Rasta89

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Oh mann ... dank für die Hilfe nochmal klarsoweit, stand glaube echt total aufm Schlauch^^ Hab allerdings eine Frage zu ner anderen Aufgabe. Ich soll wieder die Identitäten nachweisen.

\frac{(1+ i\tan(\alpha ) )^{m}}{(1- i\tan(\alpha ) )^{m}} = \frac{(1+ i\tan(m\alpha ) )}{(1- i\tan(m\alpha ) )}

Komme nachdem ich alles vereinfacht habe auf:

\left(\frac{e^{i\alpha }}{e^{- i\alpha }}\right)^{m}

Kann mir jemand erklären wie ich von diesem Ausdruck auf den oberen komme ... habe schon etwas herumprobiert aber noch keinen Weg gefunden.

Gruß,
Rasta89

03.11.2009, 18:17

Rasta89

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Oh mann ... dank für die Hilfe nochmal klarsoweit, stand glaube echt total aufm Schlauch^^ Hab allerdings eine Frage zu ner anderen Aufgabe. Ich soll wieder die Identitäten nachweisen.

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+ i\tan(\alpha ) )^{m}}{(1- i\tan(\alpha ) )^{m}} = \frac{(1+ i\tan(m\alpha ) )}{(1- i\tan(m\alpha ) )} \end{eqnarray*}$

Komme nachdem ich alles vereinfacht habe auf:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^{i\alpha }}{e^{- i\alpha }}\right)^{m} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären wie ich von diesem Ausdruck auf den oberen komme ... habe schon etwas herumprobiert aber noch keinen Weg gefunden.

Gruß,
Rasta89

03.11.2009, 18:26

klarsoweit

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Ich vermute mal, daß man erstmal sowas schreibt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^{i\alpha }}{e^{- i\alpha }}\right)^{m} = \frac{e^{i m \alpha }}{e^{- i m \alpha }} \end{eqnarray*}$

03.11.2009, 18:26

Leopold

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Indem du den linken Bruch mit $\begin{eqnarray*} \cos^m \alpha \end{eqnarray*}$ und den rechten mit $\begin{eqnarray*} \cos(m \alpha) \end{eqnarray*}$ erweiterst und das Ganze mit dem Satz von de Moivre verbindest, erklärt sich alles.

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