lineare Unabhängigkeit von Vektoren mit variabler t

01.11.2009, 19:55

Matheversteher

lineare Unabhängigkeit von Vektoren mit variabler t

Guten Abend Matheboarder!
Ich habe 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} v1=(1,3,4) v2=(3,t,11) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v3=(-4,-4,0) \end{eqnarray*}$ . Hier soll ich untersuchen für welche t € R, diese Vektoren linear abhängig voneinander sind.

Habe das als LGS geschrieben mit $\begin{eqnarray*} a*v1+b*v3=v2 \end{eqnarray*}$ und dann erst die Variablen gescuth $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ und in der mittleren Zeile dann nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Als Ergebnis habe ich $\begin{eqnarray*} t=34/3 \end{eqnarray*}$

Über ein kurzes Feddback würde ich mich freuen.

01.11.2009, 20:38

outSchool

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RE: lineare Unabhängigkeit von Vektoren mit variabler t

Zitat:

Original von Matheversteher
...
Habe das als LGS geschrieben mit $\begin{eqnarray*} a*v1+b*v3=v2 \end{eqnarray*}$ und dann erst die Variablen gescuth $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ und in der mittleren Zeile dann nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Als Ergebnis habe ich $\begin{eqnarray*} t=34/3 \end{eqnarray*}$
...

Ich weiss nicht, was du da machen willst. Ich bekomme ein anderes Ergebnis.
Löse das LGS

$\begin{eqnarray*} a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

und schau dann, für welches t du eine Nullzeile bekommst.

01.11.2009, 20:56

Matheversteher

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Habe ich auch schon versucht aber dann ist mein problem, dass ich ja für die Variablen a,b,c 0 einsetzen könnte und somit geht dann das LGS wieder nicht auf verwirrt

bzw es geht schon auf aber nicht so wie gewünscht, weil ja t durch $\begin{eqnarray*} 0*t \end{eqnarray*}$ weggfallen würde. (Mein LGS ist im Anhang)
Aber könnte ich es nicht auch über die Determinante lösen? Und in der Determinante nach t auflösen?
Weist du was ich meine ? Oder ist es schon so spät dass ich wahrscheinlich das einfach nicht mehr erkenne?

01.11.2009, 21:30

outSchool

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Fang mal so an:

$\begin{eqnarray*} a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 11 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 3 & t & -4 \\ 4 & 11 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeile 2 = Zeile2 - 3*Zeile 1 und Zeile 3 = 4*Zeile 1 - Zeile 4

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & t-9 & 8 \\ 0 & 1 & -16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann Zeile 2 = Zeile 2 - (Zeile 3)*(t-9) usw.

01.11.2009, 21:31

Matheversteher

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So also jetzt mein komplettes LGS (Ich hoffe man kann es lesen und nachvollziehen). Und ich komme wieder bei t auf $\begin{eqnarray*} t=8,5 \end{eqnarray*}$ Vllt kannst du mir sagen wo mein Fehler ist.

01.11.2009, 21:40

outSchool

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Das stimmt jetzt. Deine erste Lösung war

$\begin{eqnarray*} t = \frac{34}{3} \neq 8.5 \end{eqnarray*}$

Zur Probe kannst du t = 8.5 in die Ausgangsmatrix einsetzen und nochmal nachrechnen.

01.11.2009, 21:40

Matheversteher

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Dieser Post hier war irrelevant...

01.11.2009, 21:51

Matheversteher

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So bedanke mich damit bei dir, dassdu deine Zeit für mich geopfert hast Gott

Hatte wahrscheinlich beim ersten mal rechnen irgendwo einen abschreibfehler oder einen Vorzeichendreher.
Könnte ich das jetzt auch mit der Determinanten nachrechnen, indem die Determinanten = 0 ist? Wenn ich das Richtig hier in meinem Script verstehe wären doch dann die Vektoren auch linear voneinander Abhängig oder?

01.11.2009, 22:13

outSchool

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Ja, das kannst du auch machen, das folgt aus dem Determinanten-Multiplikationssatz.

01.11.2009, 22:38

Matheversteher

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Gibt es da mehrere Sätze? weil wenn ich das so mache

$\begin{eqnarray*} a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 -(a13*a22*a31) -(a12*a21*a33) -a(23*a32*a11) = 0 \end{eqnarray*}$

<--> $\begin{eqnarray*} 1*8,5*0 + 3*(-4)*4 + (-4)+3+11 - (-4*8,5*4) - (3*3*0) - (1*(-4)*11) \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} - 48 - 132 + 136 - 9 + 44 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} -9 \end{eqnarray*}$

dann kommt am Ende bei mir nicht 0 raus sondern -9 verwirrt

01.11.2009, 23:06

outSchool

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$\begin{eqnarray*} -(3\cdot 3\cdot 0) = 0 \text{ und nicht } 9 \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 23:19

Matheversteher

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Ah vielen dank. Hab es einfach nicht bemerkt Hammer

. So wünsche eine gute Nacht und nochmal vielen Dank für deine Hilfe. Freude

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