Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung

01.11.2009, 21:44

Smaartis

Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung

Hallo!

Ich habe folgendes Problem:

Ich darf lediglich mit der Definition von Konvergenz arbeiten:

(Leider kenn ich mich hier noch nicht so gut aus, deshalb muss ich vorerst die noch nicht bekannten Operatoren ausschreiben):

für alle Epsilon > 0, $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ n0 $\begin{eqnarray*} \ in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für alle n $\begin{eqnarray*} \ in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n>=n0 : $\begin{eqnarray*} | xn - \lim_{n \to \infty } xn | \end{eqnarray*}$ < Epsilon

--> n0: ist n mit dem Index 0; xn: ist x mit dem Index n; xn beschreibt die Folge;

Angabe:

Zeigen Sie nach obiger Definition, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3n²- 7n+ 2}{2n²-6n +1} \end{eqnarray*}$ konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert nach eben dieser Definition.

---

Ich habe aus diesem Bruch oben und unten jeweils n² herausgehoben. Außerdem weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. Das heißt meine Folge konvergiert gegen 3/2.

Ich weiß nur nicht genau, WIE ich zeige, dass diese Folge überhaupt konvergiert!

Weiters habe ich noch eine Frage: Ist bei einem allgemeinen Bruch der höchste Exponent des Nenners höher als der des Zählers, bzw. umgekehrt, ist die Folge dann 0 bzw divergent oder umgekehrt?
Und wieso ist das so?

01.11.2009, 21:54

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Also wenn ich n² heraushebe bekomme ich:

( $\begin{eqnarray*} \frac{n²}{n²} \end{eqnarray*}$ )*( $\begin{eqnarray*} \frac{3-\frac{7}{n}+\frac{2}{n²}}{2-\frac{6}{n}+\frac{1}{n²}} \end{eqnarray*}$ )

01.11.2009, 22:00

klarsoweit

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Damit kommt man mittels diverser Grenzwertsätze auf den Grenzwert 3/2. Du sollst aber nun mittels der Grenzwertdefinition zeigen, daß 3/2 der Grenzwert ist.

01.11.2009, 22:30

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Ok, dazu müsste ich aber vorerst einmal zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert.

Damit habe ich aber meine Probleme...

Ich hatte zuvor die Konvergenz eine einfacheren Folge bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n^{17}+ 8n^{16}+7n^{10}+3} \end{eqnarray*}$

indem ich ebenfalls $\begin{eqnarray*} n^{17} \end{eqnarray*}$ herausgehoben hatte.

Laut Achimnedes- Eudoxos gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ < Epsilon

Da laut Definition dies für alle Epsilon gilt, könnte ich auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \sqrt[17]{Epsilon} \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{17}} \end{eqnarray*}$ < Epsilon

Damit habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{17}} \end{eqnarray*}$ ebenso wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

Daraus ergibt sich mir dann folgende Ungleichung:

0< $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{2+ \frac{8}{n}+ \frac{7}{n^{10}}+ \frac{3}{n^{17}}} | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n0} \end{eqnarray*}$ < Epsilon

somit habe ich gezeigt dass der ganze Term < Epsilon ist und somit gegen Null konvergiert.

Aber: Worin liegt der Unterschied zu meinem obigen Beispiel? Ich komm grad nicht weiter...

01.11.2009, 22:34

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
[quote]Original von Smaartis

0< $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{2+ \frac{8}{n}+ \frac{7}{n^{10}}+ \frac{3}{n^{17}}} | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n0} \end{eqnarray*}$ < Epsilon

Dieser Term ist falsch. So ist's richtig:

0< $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{2+ \frac{8}{n}+ \frac{7}{n^{10}}+ \frac{3}{n^{17}}} | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^{17}} | \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n0} \end{eqnarray*}$ < Epsilon

02.11.2009, 08:42

klarsoweit

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von Smaartis
Ok, dazu müsste ich aber vorerst einmal zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert.

Nee. Wenn du die epsilon-Definition des Grenzwerts nimmst, hast du beides: sowohl die Konvergenz als auch den Grenzwert. Allerdings ist deine Definition nicht ganz sauber:

Zitat:

Original von Smaartis
für alle Epsilon > 0, $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ n0 $\begin{eqnarray*} \ in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für alle n $\begin{eqnarray*} \ in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n>=n0 : $\begin{eqnarray*} | xn - \lim_{n \to \infty } xn | \end{eqnarray*}$ < Epsilon

Da fehlt nämlich der einleitende Satz:

Eine Folge (x_n) heißt konvergent, wenn es eine Zahl x gibt mit:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 ~~ \exists n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so daß für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und n > n_0 gilt: $\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Die Zahl x wird Grenzwert der Folge genannt.

02.11.2009, 12:27

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Nochmal von vorne. Ich hab's noch nicht ganz:
Wenn ich in meine Definition für Epsilon einsetze, für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0, dann hab ich diesen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} | \frac{3n²- 7n+ 2}{2n²-6n +1} - x | \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Setze ich in mein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ große n ein, so sehe ich, dass sich meine Folge $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ nähert. Frage1: Darf ich das überhaupt?

Ich nehme also an, dass diese Folge gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert:

Somit erhalte ich doch diesen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} | \frac{3n²- 7n+ 2}{2n²-6n +1} - \frac{3}{2} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Was mach ich nun? Bringe ich diesen Term auf gemeinsamen Nenner? Damit habe ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n²}}{4- \frac{12}{n}+\frac{2}{n²}}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Aber hier weiß ich nicht mehr weiter. Frage2: Muss ich nicht Epsilon irgendwie definieren?

Frage3: Und mach ich nicht von vornherein den Fehler, indem ich davon ausgehe, dass die Folge konvergiert, denn das tue ich doch, oder?

Frage4: Muss ich nicht zeigen, bevor ich den GW bestimme, dass die Folge konvergiert? Wie mach ich das?

02.11.2009, 13:31

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von Smaartis
Setze ich in mein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ große n ein, so sehe ich, dass sich meine Folge $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ nähert. Frage1: Darf ich das überhaupt?

Du darfst dir beliebige Folgenglieder ausrechnen und daraus eine Annahme treffen. Die Annahme muß dann natürlich bewiesen werden.

Zitat:

Original von Smaartis
Frage3: Und mach ich nicht von vornherein den Fehler, indem ich davon ausgehe, dass die Folge konvergiert, denn das tue ich doch, oder?

Nein. Du weist die Gültigkeit des Epsilonkriteriums nach. Das impliziert die Konvergenz.

Zitat:

Original von Smaartis
Frage4: Muss ich nicht zeigen, bevor ich den GW bestimme, dass die Folge konvergiert? Wie mach ich das?

Nein. Mit dem Nachweis des Epsilonkriteriums bekommst du beides geliefert: die Konvergenz und den Grenzwert.

Zitat:

Original von Smaartis
Was mach ich nun? Bringe ich diesen Term auf gemeinsamen Nenner? Damit habe ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n²}}{4- \frac{12}{n}+\frac{2}{n²}}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Abgesehen von einem Vorzeichenfehler im Zähler würde ich eher dieses bevorzugen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{4n + 1}{4n^2 - 12n + 2 }| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns den Nenner etwas genauer an:
$\begin{eqnarray*} 4n^2 - 12n + 2 = 4 \cdot (n^2 - 3n + \frac 1 2) = 4 \cdot ((n - \frac 3 2)^2 - \frac 7 4) \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, ist der für n >= 2 monoton steigend und für n >= 5 immer positiv. Man kann also wegen 12 <= 3n abschätzen:
$\begin{eqnarray*} 4n^2 - 12n + 2 \geq 4n^2 - 3n \cdot n + 2 \geq n^2 \end{eqnarray*}$

Damit haben wir:

$\begin{eqnarray*} |\frac{4n + 1}{4n^2 - 12n + 2 }| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} |\frac{4n + 1}{n^2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} \frac{4n + n}{n^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} n > \frac{5}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Wähle also $\begin{eqnarray*} n_0 = max(5; \frac{5}{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ und fertig.

02.11.2009, 14:28

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Ein paar Sachen sind mir noch unklar:

1.: Die Folge
$\begin{eqnarray*} 4n^2 - 12n + 2 = 4 \cdot (n^2 - 3n + \frac 1 2) = 4 \cdot ((n - \frac 3 2)^2 - \frac 7 4) \end{eqnarray*}$
ist doch schon ab n>=3 positiv! Hast du dich verschrieben? Und zu welchem Zweck forme ich den Term so um?

2.: Und wieso ist 12 <= 3n? Dies gilt doch erst ab n>= 4? Wieso ich nur n, die >= 4 sind? Sonst stimmt die Gleichung ja nicht.

3.:
$\begin{eqnarray*} |\frac{4n + 1}{n^2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} \frac{4n + n}{n^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wieso darf ich 1 einfach mit n ersetzen? Es ist mir klar, dass der zweite Ausdruck größer als der erste ist, aber weshalb ich das machen darf, versteh ich noch nicht.
Außerdem: Warum machen wir das?

02.11.2009, 15:03

klarsoweit

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von Smaartis
1.: Die Folge
$\begin{eqnarray*} 4n^2 - 12n + 2 = 4 \cdot (n^2 - 3n + \frac 1 2) = 4 \cdot ((n - \frac 3 2)^2 - \frac 7 4) \end{eqnarray*}$
ist doch schon ab n>=3 positiv! Hast du dich verschrieben? Und zu welchem Zweck forme ich den Term so um?

Mir geht es nicht darum, das kleinst mögliche n zu finden. Meine Abschätzungen funktionieren für n >= 5. Mehr brauche ich nicht.

Zitat:

Original von Smaartis
2.: Und wieso ist 12 <= 3n? Dies gilt doch erst ab n>= 4? Wieso ich nur n, die >= 4 sind? Sonst stimmt die Gleichung ja nicht.

Deswegen habe ich mich weiter oben auf n >= 5 festgelegt.

Zitat:

Original von Smaartis
3.:
$\begin{eqnarray*} |\frac{4n + 1}{n^2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} \frac{4n + n}{n^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wieso darf ich 1 einfach mit n ersetzen? Es ist mir klar, dass der zweite Ausdruck größer als der erste ist, aber weshalb ich das machen darf, versteh ich noch nicht.

Die Frage "Wieso darf ich 1 einfach mit n ersetzen" stellt sich eigentlich nicht. Die Implikation $\begin{eqnarray*} \frac{4n + n}{n^2} < \epsilon \Rightarrow |\frac{4n + 1}{n^2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$ stimmt eben und damit ist die Sache erledigt.
Und warum ich das mache? Weil ich dann eine relativ simple Beziehung zwischen n und epsilon erhalte.

02.11.2009, 15:20

Smaartis

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbestimmung
Ok, vielen Dank! Freude

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