Abbildung von R nach Q (Surjektivität, Injektivität, Bijektivität)

02.11.2009, 00:15	Knitter	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung von R nach Q (Surjektivität, Injektivität, Bijektivität) Guten Tag. Ich bin nun schon den lieben langen Tag damit beschäftigt, die Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb Q, x \rightarrow \begin{cases}<br /> 1 & \text{falls }x \text{ } {\not\in} \text{ }\mathbb Q\\<br /> x & \text{falls }x \text{ }{\in} \text{ }\mathbb Q\\<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ zu betrachten. Ich soll $\begin{eqnarray} f(\mathbb R) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\mathbb Q) \end{eqnarray}$ bestimmen und entscheiden, ob die Abbildung surjektiv, injektiv und bijektiv ist. Teil 2 der Aufgabe leuchtet mir intuitiv halbwegs ein. Auch wenn das alles andere als sauber begründet ist, ahne ich, dass die Abbildung nicht injektiv sein kann, weil für alle nicht-rationalen Zahlen der Ausgangsmenge in der Zielmenge ja 1 abgebildet wird. Dagegen halte ich die Abbildung für surjektiv, weil alle rationalen Elemente der Ausgangsmenge, sofern sie rational sind, mit f(x)=x in der Zielmenge abgebildet werden. Somit wird jedes Element der Zielmenge einmal als Funktionswert angenommen. Bijektiv wäre die Abbildung demnach nicht, weil sie nicht injektiv ist. Ich habe aber ein sehr dickes Brett vor dem Kopf, wie ich f(R) und f(Q) bestimmen soll bzw. was da überhaupt zu tun ist und wäre - für Berichtigungen bzw. Hinweise zum "2. Teil" - und für einen Starttipp zum ersten Teil sehr, sehr dankbar. Viele Grüße, Knitter
02.11.2009, 14:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein zweiter Teil ist perfekt gelöst . Und mit dem zweiten Teil folgt schon auch der erste Teil. Zunächst einmal die Schreibweise: $\begin{eqnarray} f( \mathbb R )=\{q\in\mathbb Q\quad:\quad\exists x\in\mathbb R\text{ mit } f(x)=q\} \end{eqnarray}$ [in Worten: die Bildmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ] Nun überlege dir welche Funktionswerte die Funktion annimmt für reelle Werte. Unterscheide zwischen irrationalen und rationalen Zahlen. Hinweis: Teil 2 . Ähnlich für $\begin{eqnarray} f(\mathbb Q)=\{q\in\mathbb Q\quad:\quad\exists x\in\mathbb Q\text{ mit } f(x)=q\} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Teil 2 .

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