Gleichungssystem lösen mit sin und cos

02.11.2009, 09:51

qwerty

Gleichungssystem lösen mit sin und cos

Ich habe ein Gleichungssystem zu lösen und bin mir nicht sicher, ob es überhaupt lösbar ist:

I 5 = 2*cos(x) + 3*cos(y)
II 7 = 2*sin(x) + 3*sin(y)

Bisher habe ich keinen Lösungsansatz finden können.

Für Tipps und Hilfen wäre ich dankbar!

02.11.2009, 10:24

Huggy

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RE: Gleichungssystem lösen mit sin und cos
Man sieht sofort, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Beachte, dass sin und cos beschränkte Funktionen sind. Und jetzt schau dir die Gleichungen, speziell die zweite, noch mal genau an.

02.11.2009, 10:30

Ehos

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Da der Sinus und der Kosinus einer Funktion niemals größer werden können als 1, kann die zweite Gleichung niemals erfüllt sein. Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

02.11.2009, 10:43

qwerty

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Bei der allgemeinen Beschreibung ist mir ein Fehler unterlaufen, ich habe einfach einen falschen Wert für das Beispiel angenommen. Richtiger wäre folgendes Beispiel:

I 1 = 2*cos(x) + 3*cos(y)
II 4 = 2*sin(x) + 3*sin(y)

Gäbe es denn dafür eine Lösung?

02.11.2009, 11:11

Weizenvollkorn

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Zitat:

Original von qwerty
Bei der allgemeinen Beschreibung ist mir ein Fehler unterlaufen, ich habe einfach einen falschen Wert für das Beispiel angenommen. Richtiger wäre folgendes Beispiel:

I 1 = 2*cos(x) + 3*cos(y)
II 4 = 2*sin(x) + 3*sin(y)

Gäbe es denn dafür eine Lösung?

Durch das Lesen der vorangegangenen Beiträge solltest du in der Lage sein, diese Frage selbst zu beantworten.

02.11.2009, 11:11

Ehos

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Quadriere mal beide Gleichungen. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} 1=4 \cdot cos^{2}(x)+12 \cdot cos(x)cos(y)+9 \cdot cos^{2} (y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16=4 \cdot sin^{2}(x)+12 \cdot sin(x)sin(y)+9 \cdot sin^{2} (y) \end{eqnarray*}$

Addition beider Gleichungen ergibt mittels Anwendung der Additionstheoreme im mittleren Summanden

$\begin{eqnarray*} 1=4 \cdot cos^{2}(x)+12 \cdot cos(x)sin(x)+9 \cdot cos^{2} (y) \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {3}=cos(x-y) \end{eqnarray*}$

Falls also eine Lösung existiert, ist die Differenz x-y schon klar. Vielleicht hilft das weiter

02.11.2009, 11:16

Ehos

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Achtung Fehler: Die vorletzte Gleichung in meinem Beitrag muss lauten

$\begin{eqnarray*} 17=4+12 \cdot cos(x-y)+9 \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 15:50

qwerty

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Danke für die Hilfe soweit.
Leider sehe ich immer noch nicht warum das Gleichungssystem nicht lösbar sein sollte.

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