Indirekter Beweis

02.11.2009, 12:03

matcho

Indirekter Beweis

Hallo wieder einmal,

bei folgender Aufgabe stehe ich leider total auf dem Schlauch.

Zitat:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Produkt zweier natürlicher Zahlen durch 5 teilbar, so ist mindestens eine der beiden Zahlen durch 5 teilbar.

das würde folgendes bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{5} = \frac{a}{5} \cdot b \end{eqnarray*}$

doch wie gehe ich nun genau vor? Stichwort Primfaktorzerlegung?!

02.11.2009, 12:06

klarsoweit

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RE: Indirekter Beweis - bitte um Hilfestellung
Das ist sicherlich ein Erfolg versprechender Gedanke. smile

02.11.2009, 12:39

nane

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RE: Indirekter Beweis - bitte um Hilfestellung
Hallo matcho!

Zitat:

Original von matcho
Hallo wieder einmal,

bei folgender Aufgabe stehe ich leider total auf dem Schlauch.

Zitat:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Produkt zweier natürlicher Zahlen durch 5 teilbar, so ist mindestens eine der beiden Zahlen durch 5 teilbar.

das würde folgendes bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{5} = \frac{a}{5} \cdot b \end{eqnarray*}$

Nein obige Gleichung würde nur $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ bedeuten.

Zitat:

doch wie gehe ich nun genau vor? Stichwort Primfaktorzerlegung?!

Ja das scheint mir der richtige Weg zu sein. Du hast doch den Hinweis mit dem indirekten Beweis erhalten.

Zerlege die Zahlen a,b in ihre Primfaktoren. Nimm die größte Primzahl aus beiden Zerlegungen (nennen wir diese einfach p) und bilde zu a,b neue Zerlegeungen, in denen alle Primzahlen bis einschließlich p vorkommen. Primzahlen, die in der Ursprünglichen Zerlegung nicht vorkommen erhalten einfach den Exponenten 0.
Die Pruduktbildung von a und b wäre dann einfach nur noch die Anwendung der Potenzgesetze.

oder du vesuchst es so (meines Erachtens der schönere Weg)

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb N\text{ und }a*b \end{eqnarray*}$ durch 5 teilbar. Nehmen wir nun an das weder a noch b durch 5 teilbar wären, so wäre

$\begin{eqnarray*} a\mod 5=c\subset\{1,2,3,4\}(c\in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b\mod 5=d\subset\{1,2,3,4\}(d\in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} a*b\mod 5=\cdots \end{eqnarray*}$

Das wäre die Variante über Modulorechnen.

mFg nane

02.11.2009, 13:20

matcho

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danke für den denkanstoss,
ich werd ihn mir zu herzen nehmen

02.11.2009, 22:35

matcho

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RE: Indirekter Beweis - bitte um Hilfestellung

Zitat:

Original von nane

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb N\text{ und }a*b \end{eqnarray*}$ durch 5 teilbar. Nehmen wir nun an das weder a noch b durch 5 teilbar wären, so wäre

$\begin{eqnarray*} a\mod 5=c\subset\{1,2,3,4\}(c\in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b\mod 5=d\subset\{1,2,3,4\}(d\in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} a*b\mod 5=\cdots \end{eqnarray*}$

Das wäre die Variante über Modulorechnen.

mFg nane

Ich möchte es direkt weiterführen:

Grob ins verbale übersetzt, bedeutet dein Ansatz, dass der Faktor (a v b) dividiert mit 5 immer einen Rest aus der echten Teilmenge {1,2,3,4} besitzt.

Und wie würde es nun weitergehen?

Ist doch eigentlich damit schon beendet, denn schließlich widerspricht diese UND-Verknüpfung der echten Teilmengen gegen

http://www.dionic.de/1.png

/edit: bild wird nicht angezeigt?! unglücklich

03.11.2009, 00:39

Airblader

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RE: Indirekter Beweis - bitte um Hilfestellung

Zitat:

Original von nane
Nein obige Gleichung würde nur $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ bedeuten.

Nein, sie bedeutet noch nicht einmal das. Sie bedeutet gar nichts. Alles, was diese Gleichung besagt, ist 1=1.

Teilbarkeit ist etwas anderes als eine Division.

"3|9" - lies: "Drei teilt Neun."

"3/9" - lies: "Drei geteilt durch Neun."

Edit @Matcho:

(1) Was bitte ist der Faktor "(a v b)"?
(2) Was für eine "und"-Verknüpfung?
(3) Der gesuchte Widerspruch entsteht hier dadurch, dass a*b als durch 5 teilbar vorausgesetzt wurde. Zeigt man aber, dass immer ein Rest bleiben muss, so ist dies ein Widerspruch.
Diesen wichtigen Schritt hast du gedanklich aber völlig übersprungen. Er besteht darin, dass c und d jeweils eine natürliche Zahl kleiner gleich 4 sein müssen. Das Produkt a*b ist dann kongruent zu c*d (modulo 5), 5 selbst ist aber Primzahl und damit nicht aus diesen vier Zahlen als Produkt konstruierbar. [..]

Und nochmal zu nane:
Deine Gleichungen sind formal auch nicht korrekt. Du definierst c (bzw. d) einmal als natürliche Zahl, direkt davor aber als Teilmenge einer Teilmenge der natürlichen Zahlen. Also war wohl eher gemeint, dass es ein Element dieser Teilmenge ist, nicht selbst Teilmenge. Dann ist aber auch die Angabe, c und d seien natürliche Zahlen, unnötig.

air

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