Differentialgleichung: Piraten verfolgen Schiff

02.11.2009, 12:04	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung: Piraten verfolgen Schiff Folgende Aufgabenstellung: Ein Handelsschiff fährt mit konstanter Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v_H \end{eqnarray}$ auf der y-Achse. Ein Piratenschiff verfolgt das Handelsschiff mit konstanter Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v_P \end{eqnarray}$ , indem es stets genau auf das Handelsschiff zufährt. Gesucht ist nun die Differentialgleichung der Kurve auf der das Piratenschiff fährt. (O.B.d.A. startet das Piratenschiff rechts des Handelsschiffes ( $\begin{eqnarray} {x_P}_0 \geq 0 \end{eqnarray}$ ).) Mein Ansatz ging über die Geschwindigkeit. $\begin{eqnarray} v_P=\begin{pmatrix} {v_P}_x \\ {v_P}_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -v_P\frac{x_P(t)}{l(t)} \\ v_P\frac{y_H(t)-y_P(t)}{l(t)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} x_P(t) \end{eqnarray}$ die Position des Piratenschiffes in der x-Koordinate zum Zeitpunkt t, $\begin{eqnarray} y_P(t) \end{eqnarray}$ die Position des Piratenschiffes in der y-Koordiante zum Zeitpunkt t, $\begin{eqnarray} y_H(t) \end{eqnarray}$ die Position des Handelsschiffes (in der y-Koordinate) zum Zeitpunkt t, $\begin{eqnarray} l(t)=\sqrt{x_P(t)^{2}+(y_H(t)-y_P(t))^{2}} \end{eqnarray}$ der Abstand der beiden Schiffe. Nimmt man an, dass das Handelsschiff im Punkt $\begin{eqnarray} (0,a) \end{eqnarray}$ startete, dann ist $\begin{eqnarray} y_H(t)= a+v_Ht \end{eqnarray}$ . Gesucht ist eine Kurve $\begin{eqnarray} y_P(x_P) \end{eqnarray}$ . Ableitung: $\begin{eqnarray} \dot{y_P}(x_P)=\frac{dy_P}{dx_P}=\frac{\frac{dy_P}{dt}}{\frac{dx_P}{dt}}=\frac{{v_P}_y}{{v_P}_x}=\frac{v_P\frac{y_H(t)-y_P(t)}{l(t)}}{-v_P\frac{x_P(t)}{l(t)}}=-\frac{a+v_Ht-y_P(t)}{x_P(t)} \end{eqnarray}$ . Dies sieht ja schon ziemlich nach einer Differentialgleichung aus. Allerdings ist immernoch das t in der Gleichung und auch das x_P(t) stört. Ich komm an dieser Stelle einfach nicht weiter. Deshalb bitte ich um eure Hilfe. Dankeschön. LG Max
02.11.2009, 19:42	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung: Piraten verfolgen Schiff Wäre echt schön, wenn mir jemand helfen könnte. Ich habs nocheinmal anders versucht, bin da aber noch früher nicht weitergekommen. Irgendwie steh ich wohl auf dem Schlauch... Danke.

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