Integralbestimmung Fourier

02.11.2009, 12:37

Die Ente Wurzel

Integralbestimmung Fourier

Hi,

ich bin neu hier im Forum und ich hoffe ihr könnt mir helfen. Meine mathematischen Vorkenntnisse sind Mathe Grundkurs und an der Uni Analysis 1 (bestanden). Ich bin aber keine mathematische Überfliegerin.

Die folgende Aufgabe ist mir noch nicht so ganz klar.

$\begin{eqnarray*} f(t)=sin(2t)cos(2t) \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{\pi}~f(t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

Fourier wurde bei mir kaum behandelt. Wird eigentlich immer bei uns bei Analysis 1 mit eingebaut, im kürzeren Sommersemester allerdings nur kurz angerissen.

Wenn ich die Funktion einfach einsetze und integrieren wollte, wäre das ja eine recht hässliche Integration. Mir ist dann noch eingefallen das vielleicht eine trigonometrische Identität helfen könnte, nämlich:

$\begin{eqnarray*} sin(4t)=2sin(2t)cos(2t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{\pi}~f(t)sin(4t)~dt= \int_{\pi}^{\pi}~ \frac{1}{2} sin(4t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt einfach nur noch partiell integrieren? Wobei mir da sofort einfällt das ich in beiden Teilen den Sinus mit drinhabe und somit auch bei mehrfacher partieller Integration immer ein Integral mitschleppe ? Oder bin ich total auf dem Holzweg?

02.11.2009, 13:26

Die Ente Wurzel

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Nachtrag: Die untere Grenze des Integrals ist natürlich $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ , kann ich leider nicht mehr editieren. Ich habe jetzt mal partielle durchintegriert und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt = \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \left[\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi}+ \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

Da sich jetzt die mittleren Terme aufheben, wäre das Integral doch Null. Ich habe die Funktion mal geplottet, kann also irgendwie nicht sein.

02.11.2009, 14:03

klarsoweit

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Poste deine Rechnung ausführlicher, damit man sehen kann, wo der Fehler steckt.

02.11.2009, 14:28

Die Ente Wurzel

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Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ lasse ich beim Integrieren mal außen vor vorerst.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt= \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}~cos(4t)cos(4t)~dt = \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \left[\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

Ist das für den Überblick ausführlich genug oder soll ich noch die gekürzten Faktoren und meine Wahl der partiellen Funktionen bei der partiellen Integration erwähnen?

Also folgt mit dem Faktor:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt = \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \left[\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi}+ \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 14:49

klarsoweit

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Also wenn, dann mußt du den Faktor 1/2 überall vorsetzen und nicht nur auf der linken Seite.

Zitat:

Original von Die Ente Wurzel
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt= \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}~cos(4t)cos(4t)~dt \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle nutzt du $\begin{eqnarray*} cos^2(x) = 1 - sin^2(x) \end{eqnarray*}$ .

02.11.2009, 14:55

Die Ente Wurzel

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Ja, das mit dem Faktor habe ich im Eifer des Gefechts vergessen. Danke für den Tipp mit dem Pythagoras, ich werde das nachher mal gleich ausrechnen und gucken was ich rausbekomme.

02.11.2009, 19:00

Stefan (GAST)

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Hallo,

die Lösung ist eigentlich ganz einfach: Man braucht nur diese Beziehung anwenden:

$\begin{eqnarray*} Sin(x)^{2} = \frac{1}{2} (1- cos(2x))~dt \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich in deinem Fall:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~(sin(4t))^{2} ~dt = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~\frac{1}{2} (1- cos(8t))~dt \end{eqnarray*}$

Diese Integral ist sehr einfach zu lösen!
Hoffe dir geholfen zu haben Augenzwinkern

Viele Grüße
Stefan

02.11.2009, 19:01

Die Ente Wurzel

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Dann probiere ich mal zu komplettieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt = \frac{1}{2}(\left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}~cos(4t)cos(4t)~dt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}(\left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}~1-sin^2(4t)~dt) = \frac{1}{2}(\left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + \left[t\right]_{-\pi}^{\pi}- \int_{-\pi}^{\pi}~sin^2(4t)~dt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt= \frac{1}{2}(\left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} + 2 \pi )= \left[-\frac{cos(4t)sin(4t)}{8} \right]_{-\pi}^{\pi} + \pi \end{eqnarray*}$

Mit eingesetzten Grenzen fällt dann einiges Weg aufgrund der Periodizität und ich erhalte als Lösung

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

So korrekt? Habe leider noch so meine Probleme mit den Formeln hier, aber ich arbeite daran.

EDIT: Latex auf mehr Zeilen verteilt (klarsoweit )

02.11.2009, 19:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Die Ente Wurzel
Dann probiere ich mal zu komplettieren:

Die Formel von Stefan kannst du direkt anwenden. Dann brauchst du keine partielle Integration mehr.

02.11.2009, 19:26

Die Ente Wurzel

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Stefans Beitrag hatte ich leider nicht gesehen, als ich angefangen habe meine alte Rechnung abzutippen.

Leider komme ich nun auf zwei verschiedene Ergebnisse,

nämlich auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (siehe oben) und über Stefans Weg auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

02.11.2009, 19:32

Die Ente Wurzel

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}~\frac{1}{2}(1-cos(8t)) ~dt= \frac{1}{4} \int_{-\pi}^{\pi}~(1-cos(8t)) ~dt = \frac{1}{4} (\left[t\right]_{-\pi}^{\pi} - \left[\frac{sin(8t)}{t} \right]_{-\pi}^{\pi})= \frac{1}{4} 2 \pi = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 19:42

Stefan (GAST)

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Du hast richtig gerechnet!

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}~sin(4t)sin(4t)~dt= \pi \end{eqnarray*}$

Aber es war nach

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{\pi}~ \frac{1}{2} sin(4t)sin(4t)~dt \end{eqnarray*}$

gesucht!

02.11.2009, 19:47

Die Ente Wurzel

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Ok, ich dachte ich hätte die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oben schon richtig mit beachtet, jetzt verstehe ich meinen Denk/Rechenfehler oben mit dem Faktor. Danke!

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