Skalierung

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G@st Auf diesen Beitrag antworten »
Skalierung
Halli Hallo...
Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht weiterhelfen.
Wir haben in den letzten Stunden die LR-Zerlegung und die Pivotisierung besprochen. Soweit habe ich das auch verstanden, nun stehe ich aber vor dem Problem, dass ich nicht weiß warum man nach bzw. zusätzlich zur Pivotisierung noch die Skalierung durchführt?

Ich weiß zwar wie das im Prinzip funktioniert, also dass man bei einer Zeilenskalierung die Ausgangsmatrix von links mit einer Diagonalmatrix multipliziert, aber mir ist nicht klar, warum und zu welcher Verbesserung das ganze führt.

In der Vorlesung haben wir dazu nur aufgeschrieben, dass wir mit der Skalierung die Länge der Basisvektoren des Bildraumes (Zeilenskalierung)bzw. des Urbildraumes (Spaltenskalierung) ändern.
Zudem wurde gesagt, dass man die Skalierung so eigentlich auch nie durchführt, weil es ein zu aufwendiges Verfahren ist.

Kann mir vielleicht jemand kurz auf die Spünge helfen?

Vielen Dank...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Ein paar Links für das "Warum".

http://www.math-inf.uni-greifswald.de/nu...merik/ueb04.pdf

[WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren

Zur Praxis muss man dann eben auch bedenken, dass so ein Verfahren Rechenschritte kostet und man das für und wider abwägen muss.
G@st Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Danke schon mal für deine Antwort!
Ich hab auch schon gelesen, dass die Skalierung eine deutliche Verringerung und damit Verbesserung der Konditionszahl bewirkt.
Aber mir ist einfach nicht klar, wie das funktioniert.
Ich multipliziere meine Ausgangsmatrix bei der Spaltenskalierung von links mit einer Dreiecksmatrix, aber warum bewirkt das eine Verbesserung meiner Lösung. Bei der Pivotisierung ist mir klar, wodurch die Verbesserung entsteht und wie dies funktioniert, aber hier hab ich einfach ein Brett vorm Kopf...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Du weißt aber, was die Kondition ist? Man multipliziert hier ein LGS mit einer Matrix. D



A ist schlecht konditioniert.



Ist ein LGs mit gleicher Lösungsmenge. Man hofft, D so wählen zu können dass gilt



Die Bücher lassen sich aber nicht immer so in die Karten gucken /oder gehen ins Detail, wie das dann wirklich erreicht wird. Hier hab ich da schon mal drüber nachgedacht. Bei der Äquilibrierung sind wir auch zu einem Schluss gekommen. Generell schaltet sich an diesem Punkt eine "eigene Theorie" auf, weswegen wohl in deiner Vorlesung auch nur gesagt wurde "Das ist die Idee, in der Praxis macht man es dann aber anders".
G@st Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Hallo nochmal...

Nein, leider weiß ich noch nicht was die Kondition ist. Habe mir das zwar nun alles einwenig durchgelesen, aber so recht steige ich da noch nicht durch.
Wir arbeiten nach dem Buch von Deufelhard und da haben wir eben erst die Gaußsche Eliminationsmethode kennen gelernt und die Pivotisierung. Danach ging es gleich um die Skalierung.
Mhm, vielleicht sollte ich das einfach erstmal so hinnehmen?
Kann man den aber insgesamt sagen, dass sich eine Skalierung nicht lohnt, weil damit wieder zu viele Rechenoperationen ausgeführt werden müssen - es aber prinzipiell eine Möglichkeit ist, seine Lösung zu verbessern?

Danke schon mal...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Prinzipiell kann man das nicht sagen. Es kommt eben darauf an. Augenzwinkern Den Begriff Kondition würde ich mal googlen, Boardsuche. Der ist wichtig. Augenzwinkern

Da ich das Buch nicht habe, würde ich dir empfehlen nochmal in der Übung nachzufragen und dir ggf. ein Beispiel geben zu lassen. Wink
 
 
G@st Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Hallo nochmal...
Es wäre super, wenn du mir nochmal weiter helfen könntest.
Ich habe gelesen, dass die Qualität der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe direkter Verfahen und die Konvergenzgeschwindigkeit iterativer Verfahren wesentlich von der Kondition der Koeffizientenmatrix abhängt.

Daraus kann ich schließen, dass eine schlecht Kondition zu einer schlechten Lösung bzw. zu einer langsameren Konvergenz führt?

Außerdem habe ich gelesen, dass sie definiert wird, als Produkt aus einer Norm der Matrix A und der Norm ihrer Inversen.
Mir ist erb nicht klar wie ich das jetzt genau berechne. Habe auch schon in den workshops geschaut, aber irgendwie fehlt mir ein konkretes anwendungsbeispiel.

Für singuläre Matrizen gilt das die Kondition unendlich ist. Hier gibts dann ja nichts zu rechnen.

Und für spd.Matrizen Lamda (max) / Lamda (min). Heißt das tatsächlich, dass ich einfach den größten eigenwert durch den kleinsten teile und damit habe ich meine Kondition?

Nun zum eigentlich Thema zurück:
Mit der Skalierung erreiche ich jetzt eine Verbesserung der Kondition und damit eine bessere Lösung und am beste Skaliere ich so, dass der größte Element einer Zeile 1 ist. Auch wenn das nicht so mathematisch ausgedrückt ist, ist das Prinzip denn wenigstens richtig?

Sorry, dass ich so viel Frage, aber ich will nicht gleich am Anfang den Anschluss verlieren. Wäre super, wenn du mir nochmal helfen könntest.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalierung
Die Bedeutung der Kondition:
[WS] Lineare Gleichungssysteme 1

Ist sie schlecht, so machst du bei jeder Rechnung am PC größere Fehler, bzw. deine natürlichen Eingabefehler fallen mehr ins Gewicht. Bei sehr schlechter Kondition konvergiert den Verfahren nicht gegen die Gewünschte Lösung oder nur sehr langsam.

Berechnung ist unterschiedlich. Du musst dich für eine Norm entscheiden. Das mit den EW kann man benutzen, wenn man einen Algorithmus verbessern will. Je nach Fall kann es doch einfacher sein, die EW abzuschätzen als die Normen (gerade von der Inversen) zu berechnen.

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