Gleichheit zeigen...

02.11.2009, 14:10

Gleichheit zeigen...

Für a,b (komplexe Zahlen), will ich folgendes zeigen... (bzw. widerlegen, wenn es nicht so ist).#

$\begin{eqnarray*} 2|a\overline{b}|=2Re(a\overline{b}) \end{eqnarray*}$

Wie forme ich das ganze jetzt am besten um, um die gleichheit zu zeigen (bzw. ungleichheit).

02.11.2009, 14:17

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RE: Gleichheit zeigen...
Am besten übersetzt man das in deutsche Sprache:

Der Betrag einer komplexen Zahl soll gleich ihrem Realteil sein. Also ist der Imaginärteil gleich Null, womit klar ist, daß das nicht für alle komplexen Zahlen gilt. Einen kleinen Test kannst du mit a=1 und b=i machen. Augenzwinkern

02.11.2009, 14:28

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wenn ich vorher a und b folgendermaßen definiert hatte $\begin{eqnarray*} a:=(x,y), b:=(v,w) \end{eqnarray*}$ folgt also aus der multiplikation $\begin{eqnarray*} a\cdot \overline{b} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} c=(xv+yw,-xw+yv) \end{eqnarray*}$ oder? also muss der imaginärteil von c gleich 0 gesetzt werden stimmts?

$\begin{eqnarray*} -xw+yv=0 \end{eqnarray*}$ bin ich bis hierhin richtig?

02.11.2009, 14:45

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Das mag zwar stimmen, aber ich verstehe jetzt nicht den Sinn des ganzen.

02.11.2009, 14:56

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hm überleg ich grad selbst warum ich, dass so machen wollte^^ daraus folgte ja, dass yv=xw sein muss damit die ursprungsaussage gilt. wie zeige ich denn sonst, dass der imaginärteil von $\begin{eqnarray*} a\overline{b} \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist?

02.11.2009, 15:23

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Das habe ich doch schon in meinem ersten Beitrag erläutert. Also in Formeln:

Wenn Re(z) = |z| ist, dann folgt: $\begin{eqnarray*} (Re(z))^2 = |z|^2 = (Re(z))^2 + (Im(z))^2 \end{eqnarray*}$

Was folgt dann für Im(z) ?

02.11.2009, 15:44

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ja, dass er null ist.

Also

$\begin{eqnarray*} 2Re(a\overline{b})=2|a\overline{b}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Re(a\overline{b})=|a\overline{b}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Re(a\overline{b}))²=(|a\overline{b}|)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (|a\overline{b}|)²=(Re(a\overline{b}))^2+(Im(a\overline{b}))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Re(a\overline{b}))²=(Re(a\overline{b}))^2+(Im(a\overline{b}))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow (Im(a\overline{b}))^2=0 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, ich habe eine Ungleichung mit kleiner gleich als relation (und deren gültigkeit auch bereits gezeigt) und soll zeigen, wann die gleichung "=" erfülllt ist.
Nun scheidet sich das ganze also an diesem punkt, wen obige gleichung stimmt wandelt sich die Ungleichung in eine GLeichung.

Also reicht es wenn ich so allgemein aufschreibe, dass $\begin{eqnarray*} (Im(a\overline{b}))=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss?

02.11.2009, 16:00

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Da ich nichts von dem Gesamtzusammenhang weiß, sage ich mal vorsichtig ja.

02.11.2009, 16:09

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Also ich habe

$\begin{eqnarray*} |a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2Re(a\overline{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq|a|^2+|b|^2+2|a\overline{b}| \end{eqnarray*}$

Daraus folgt meines erachtens, wenn $\begin{eqnarray*} 2|a\overline{b}|=2Re(a\overline{b}) \end{eqnarray*}$ gilt, ist die zweite zeile keine ungleichung mehr sondern eine gleichung oder liege ich da falsch?

02.11.2009, 18:16

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Zitat:

Original von RS
$\begin{eqnarray*} |a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2Re(a\overline{b}) \end{eqnarray*}$

Im allgemeinen gilt das nicht, wie man für a=1 und b=i leicht nachprüft.

02.11.2009, 19:42

ankasztaj

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für welche werte gilt es dann?
ich frage anders, die eigentliche Fragestellung lautet letztendes so:
Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R^2 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} |(x,y)|_1 := |x| + |y| \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |(x,y)|_\infty := max \left\{|x|,|y|\right\} \end{eqnarray*}$

Zeige: $\begin{eqnarray*} |(x,y)|_i + |(v,w)|_i \geq |(x+v, y+w)|_i \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} i=1,\infty \end{eqnarray*}$

muss man da jeweils $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i=\infty \end{eqnarray*}$ einsetzen?
also eine fallunterscheidung machen? oder reicht es wenn man es allgemein macht?

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