Stochastikaufgabe Computerchips

02.11.2009, 14:51

Duude

Stochastikaufgabe Computerchips

Hallo,
ich bin gerade bei folgender Aufgabe:

[attach]11761[/attach]

Die 2.2.1) habe ich schon mit einem Baumdiagramm gelöst.

Bei der 2.2.2) würde das aber ein sehr großes Baumdiagramm ergeben...

D: Genau zwei Chips sind defekt:
Kann ich das so berechnen:

$\begin{eqnarray*} 0,12*0,12*0,88^{18}=5,66*10^{-16} \end{eqnarray*}$ ?

E: Mindestens ein Chip ist defekt wird schon schwieriger. Das heißt ja ein Chip oder zwei oder drei,...
Dann müsste ich ja rechnen

$\begin{eqnarray*} 0,12*0,88^{19}+0,12^2*0,88^{18}+0,12^3*0,88^{17},.., 0,12^{19}*0,88+0,12^{20}*0,88^0 \end{eqnarray*}$

sieht mir ziemlich kompliziert aus. Stimmt das so?
Das kann man bestimmt auch noch irgendwie als Summe schreiben...

Bei der 2.2.3) habe ich so meine Probleme...

Das ist ja eine Aufgabe mit mindestens, also könnte man sie über das Gegenereignis ausrechnen und dann eben mit einer Ungleichung 1-Gegenereignis >0,99

Das mindestens ein Chip ist defekt habe ich ja gerade schon ausgerechnet.
Aber kann ich das dann so einfach hoch n nehmen, um die Anzahl der Chips zu bekommen? dazu bräuchte ich den Term ja irgendwie umgeschrieben oder? Der wird so ja ewig lang und ich will ja grade raufinden, wie lange er geht.

Dann noch zur 2.2.4) Wie finde ich heraus ob zwei Ereignisse stochastik unabhängig voneinander auftreten? Also was sind die Bedingungen dafür? Hier habe ich noch gar keinen Ansatz.

Freue mich über jede Hilfe, auch zu einzelnen Teilaufgaben.

Grüße
Duude

02.11.2009, 16:52

Huggy

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RE: Stochastikaufgabe Computerchips
D, E) Das ist falsch.
Du musst einfach mit der Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,12 $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(X \geq 1) \end{eqnarray*}$ berechnen. Bei E über das Gegenereignis.

2.2.3
Gegenereignis ist gut.
Du musst halt $\begin{eqnarray*} P(X\geq 1)=1-P(X=0)) \geq0,99 \end{eqnarray*}$ für unbekanntes n aufschreiben und nach n auflösen.

2.2.4
Drücke $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ aus und benutze die Definition von unabhängig.

02.11.2009, 18:17

Duude

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oh, Binomialverteilung habe ich erst einmal gehört und kann mir eigentlich nichts drunter vorstellen...

Ich habe in Wikipedia das hier gefunden:

"Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

$\begin{eqnarray*} B(\cdot|p,n):\mathbb Z\to [0,1],\,k\mapsto B(k|p,n) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

heißt die Binomialverteilung zu den Parametern n (Anzahl der Versuche) und p\in [0,1] (Trefferwahrscheinlichkeit)."

Dann muss ich also irgendwie die Formel hinten anwenden, oder? Wie fange ich denn da an? Also n ist die Anzahl der Versuche. Hier also 20.
Und ist p dann das was ich aus n auswähle? Das müssten dann ja bei D zwei sein. Bei E variiert es aber ja zwischen 2 und 20...
hmm, und was ist mit der Trefferwahrscheinlichkeit p gemeint?

um die b) rechnen zu können, brauche ich dann ja auch erst die Binomialverteilung, oder? Und dann eben mit dem Gegenereignis.

Dann noch zur c)

Die habe ich mal probiert...

[attach]11766[/attach]

Also ich bin mir gar nicht sicher bei meiner Lösung. Was meinst du denn dazu?
Mir erscheint der Unterschied bei dem Ungleichheitszeichen so groß...

02.11.2009, 19:47

Huggy

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Zitat:

Original von Duude
oh, Binomialverteilung habe ich erst einmal gehört und kann mir eigentlich nichts drunter vorstellen...

Das wundert mich. Denn die Binomialverteilung wird doch in der Schule recht früh behandelt. Die konkrete Aufgabe kann zwar auch mit gesundem Menschenverstand und den Grundregeln der Wahrscheinlichkeit gelöst werden, aber die Verwendung der Binomialverteilung macht es einfach, das auf schwierigere Fälle zu übertragen.

Ganz kurz zum Verständnis der Binomialverteilung: Ein Zufallsexperiment (hier Untersuchung eines Chips) habe zwei mögliche Ergebnisse A oder nicht A (hier Chip defekt oder Chip nicht defekt). Die Wahrscheinlichkeit für A sei p (hier 0,12). Damit ist die Wahrscheinlichkeit für nicht A q = 1 - p. Der Versuch werde n mal ausgeführt (hier: es werden n = 20 Chips untersucht). Es sei X die Zufallsvariable, die angibt, wie oft das Ereignis A eintrifft. X kann also die Werte k von 0 bis n annehmen. $\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \end{eqnarray*}$ sei die Wahrscheinlichkeit, dass A höchstens k mal (also k mal oder weniger als k mal) eintritt. Dann ist $\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \end{eqnarray*}$ durch die Binomialverteilung gegeben:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad P(X \leq k)=B(n;k;p)=\sum_{i=0}^k~\binom ni p^iq^{n-i} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k mal eintritt, ist:

$\begin{eqnarray*} (2) \quad P(X=k)=\binom nk p^kq^{n-k} \end{eqnarray*}$

Auch das wird oft als Binomialverteilung bezeicbnet, obwohl Verteilung streng genommen (1) vorbehalten sein sollte. Mit den heutigen wissenschaftlichen Taschenrechnern kann man beides aufrufen.

Nun zu deiner Aufgabe. Bei D musst du $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ gemäß der Formel (2) berechnen. Bei E verwendest du

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1)=1-P(X=0) \end{eqnarray*}$

und berechnest $\begin{eqnarray*} P(X=0) \end{eqnarray*}$ wieder mit (2).

Bei 2.2.3 ist die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1) \geq 0,99 \end{eqnarray*}$

zu lösen. Du benutzt wieder

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1)=1-P(X=0) \end{eqnarray*}$

setzt $\begin{eqnarray*} P(X=0) \end{eqnarray*}$ gemäß (2) ein und erhälts eine Ungleichung mit n als unbekannter Größe, die du nach n auflöst.

Bei 2.2.4 solltest du beachten, dass du auch $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=0,12 \end{eqnarray*}$ kennst. Also kannst du $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ausrechnen und prüfen, ob es der Definition der Unabhängigkeit genügt.

02.11.2009, 23:22

Duude

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Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen und Anleitungen. Ich konnte jetzt alle Aufgaben vollends alleine lösen smile

Ich hänge sie mal an.

[attach]11770[/attach]
[attach]11771[/attach]
[attach]11772[/attach]

Was meinst du zu den Lösungen?

Dann noch kurz zur Binomialverteilung.

Ich habe hier ja eine Aufgabe die Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen entspricht. Bei Ziehen ohne Zurücklegen, müsste sich diese Formel die ich anwende, doch verändern, oder?

03.11.2009, 10:54

Huggy

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Zitat:

Original von Duude
Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen und Anleitungen. Ich konnte jetzt alle Aufgaben vollends alleine lösen smile

Ich hänge sie mal an.

Was meinst du zu den Lösungen?

Die Lösungen sind bis auf eine kleine numerische Ungenauigkeit korrekt. Freude

Bei 2.2.3 ergibt sich $\begin{eqnarray*} n \geq 36,02 \end{eqnarray*}$ , wenn man erst beim Endergebnis rundet. Und da n ganzzahlig sein muss, $\begin{eqnarray*} n \geq 37 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann noch kurz zur Binomialverteilung.

Ich habe hier ja eine Aufgabe die Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen entspricht. Bei Ziehen ohne Zurücklegen, müsste sich diese Formel die ich anwende, doch verändern, oder?

Das ist richtig. Ziehen ohne Zurücklegen führt zur hypergeometrischen Verteilung. Bei Schulaufgaben zu 'Ziehen ohne Zurücklegen' braucht man aber üblicherweise die Theorie der hypergeometrischen Verteilung nicht explizit.

03.11.2009, 14:43

Duude

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Zitat:

Die Lösungen sind bis auf eine kleine numerische Ungenauigkeit korrekt. Freude
Bei 2.2.3 ergibt sich $\begin{eqnarray*} n \geq 36,02 \end{eqnarray*}$ , wenn man erst beim Endergebnis rundet. Und da n ganzzahlig sein muss, $\begin{eqnarray*} n \geq 37 \end{eqnarray*}$ .

Ja, das stimmt. Da habe ich schon beim ln gerundet... Am Ende runden ist halt immer besser Augenzwinkern

Dann habe ich alles verstanden.

Danke nochmals für deine Hilfe.

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