Abhängige Wahrscheinlichkeit: Bube und Ass

02.11.2009, 15:34

Duude

Abhängige Wahrscheinlichkeit: Bube und Ass

Hallo,
folgende Aufgabe:

Aus einem Skatspiel wird blind eine Karte gezogen. Die Ereignisse A und B sind definiert durch:
A: Karokarte
B: König.
Untersuche, ob die Ereignisse A und B abhängig sind.

So, ich würde jetzt nach Gefühl sagen, dass die Ereignisse unabhängig sind. Wenn eine Karokarte gezogen wird, beeinflusst das ja nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein König gezogen wird.

Aber wie kann ich das nachweisen?

Ich habe mir jetzt mal überlegt, ob man sich an diesem Beispiel auch ein abhängiges Ereignis überlegen kann.
Wären denn z.B.

A: Bube
B: Dame
abhängige Ereignisse? Denn wenn im 1. Zug ein Bube gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Dame im 2. Zug höher..

Was meint ihr?

02.11.2009, 16:17

Huggy

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RE: Abhängige Wahrscheinlichkeit: Bube und Ass
Dein Gefühl stimmt. Das ist aber kein Beweis.
Zeige einfach, dass die Definition von unabhängig für die beiden Ereignisse erfüllt ist

02.11.2009, 16:26

Duude

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Also A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt

$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \end{eqnarray*}$

Aber wie weiße ich das hier nach?

Reicht es zu sagen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) =\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt nach dem Baumdiagramm $\begin{eqnarray*} P ( A \cap B )=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

und damit sind die Ereignisse stochastisch unabhängig...

Naja, ich bin noch nicht so ganz zufrieden mit meinem Beweis. Den kann man bestimmt noch besser machen, oder?

Und was wäre denn die Definition für stochastisch abhängig? Dann könnte man ja auch diese widerlegen...

02.11.2009, 16:32

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Das überzeugt nicht wirklich und riecht an einigen Stellen nach Zirkelschluss.

Wie würdest du die Frage nach der Unabhängigkeit der beiden Ereignisse $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ beantworten, wenn nicht aus 32 Skatkarten, sondern aus 110 Rommékarten (104 normale + 6 Joker) gezogen wird?

02.11.2009, 16:43

Duude

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Naja, die beiden Ergebnisse beeinflussen sich nicht. Ich habe eben immer entweder eine normale Karte oder einen Joker.
Die Schnittmenge ist leer.

Das bringt mich allerdings zu einem Problem bei meiner Formel:

Zitat:

Also A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt

$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \end{eqnarray*}$

Hier ist der Schnitt ja leer.
Also würde hier stehen

$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{104}{110}\cdot\frac {6}{110} \end{eqnarray*}$

Und das kann ja irgendwie nicht sein...

02.11.2009, 16:46

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Nein, du hast mein Beipiel vollkommen falsch vestanden, der Schnitt ist nicht leer, ich rede von denselben $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ wie oben - oder habe ich die irgendwo umdefiniert??? Also

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Karokarte wird gezogen
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... König wird gezogen

ergo

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ... Karo-König wird gezogen,

diesmal wird aber aus den 110 statt den 32 Karten gezogen.

02.11.2009, 16:49

Duude

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ach so, jetzt kommts bei mir smile

Karo -König hat die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{32} \end{eqnarray*}$ und das ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Und weil beide Seiten gleich sind, sind die Ergebnisse stochastisch unabhängig.

so ok?

und sie wären stochastisch abhängig, wenn sich nicht auf beiden Seiten die gleichen Zahlen ergeben würden.

02.11.2009, 16:51

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Richtig - und wenn du dasselbe beim Rommé-Blatt durchrechest, ergibt sich abweichend davon

$\begin{eqnarray*} \frac{26}{110} \cdot \frac{8}{110} \neq \frac{2}{110} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. dort sind die beiden Ereignisse abhängig. Augenzwinkern

02.11.2009, 17:58

Duude

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ok, ich glaube ich habe es verstanden. Ich fass es nur nochmals in meinen Worten zusammen.

deine erste Zahl ist dann wieder die Wahrscheinlichkeit, eine Karokarte zu ziehen.
Also 110 Karten - 8 Joker =104 Karten. Davon sind 0,25 Prozent Karo also 104 geteilt durch 4 = 26.
Wahrscheinlichkeit 26/110

Es gibt insgesamt 8 Könige im Spiel, weil mit zwei Blatt gespielt wird.

Also ist die Wahrscheinlichkeit für einen König 8/110

Die Wahrscheinlichkeit für Karokönig ist 2/110, da zwei Karokönige im Spiel sind, weil ja mit 2 Blatt gespielt wird.

Wenn man beide Seiten berechnet, kommt man wie du schon gezeigt hast, auf unterschiedliche Ergebnisse.
--> stochastisch abhängig.

Diese stochastische Abhängigkeit kommt wegen den Jokern rein, oder? Wären die nicht drin, müsste die Sache stochastisch unabhängig sein, denn dann würde gelten: 104 Karten insgesamt.

und es würde sich ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{26}{104}*\frac{8}{104}= \frac{2}{104} \end{eqnarray*}$ --> stochastisch unabhängig.

02.11.2009, 18:43

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Ja, ganz genau erfasst. Freude

02.11.2009, 19:05

Duude

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cool

Vielen Dank für die superschnelle Hilfe...

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