Kegelschnitte (Mittelpunkte usw)

02.11.2009, 18:16	hiars123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelschnitte (Mittelpunkte usw) Hey Leute Habe folgendes Problem... Gegeben ist folgende Kegelschnittschar: $\begin{eqnarray} (\frac{x^2}{4} +y^2-1)+\lambda(\frac{x^2}{2} -y^2-1)=0 \end{eqnarray}$ Für welche Werte von lambda ergeben sich Ellipsen, für welche Hyperbeln? ich habe zuerst die Klammer mit Lambda multipliziert und danach Lambda und "1" auf die andere Seite des "ist-gleich" Zeichens gebracht sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} (\frac{x^2}{4} +y^2)+(\frac{x^2}{2}\lambda -y^2\lambda)=\lambda +1 \end{eqnarray}$ jetzt kann man ausklammern und durch "Lambda+1" teilen: $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{4}( \frac{1+2\lambda }{1+\lambda } )+y^2(\frac{1-\lambda }{1+\lambda } )=1 \end{eqnarray}$ anders kann man das doch so schreiben, damit es der Ellipsenformel bzw. Hyperbelformel mehr ähnelt?: $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{\frac{4(1+\lambda) }{1+2\lambda }} + \frac{y^2}{\frac{1+\lambda }{1-\lambda }}=1 \end{eqnarray}$ da die ellipsenformel: $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray}$ ist, habe ich mir gedacht das so umzuschreiben $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{\sqrt{\frac{4/1+\lambda }{1+2\lambda }} ^2}+\frac{y^2}{\sqrt{\frac{1+\lambda }{1-\lambda }}^2 } \end{eqnarray}$ und nun habe ich überprüft für welche lambda die wurzeln postiv sind - somit bekomme ich eine Schnittmenge für lambda ]-0,5 ; 1[ also für diese Lambda ergibt sich eine Ellipse. Ist das so richtig? Lambdawerte für Hyperbel: ]-unendlich ; -1[ und ]1 ; +unendlich[ Was ich aber nicht verstehe ist, dass in der nächsten Aufgabe nach den MITTELPUNKTEN, SCHEITELPUNKTEN und BRENNPUNKTEN gefragt ist?! das könnte man ja alles ablesen, aber nach meinem Denken wäre ja dann jeder Mittelpunkt (0/0). Wie sieht denn dann eine Ellipse aus, die den Mittelpunkt bei M(1/5) hat. --> das gibt für mich alles keinen Sinn. Sorry dass ich soweit ausgeholt hab. Facharbeit ist eben was wichtiges^^ - Bitte um Verständnis... Edit: Mittelpunkt wäre M(0/0) Scheitelpunkte: S (-a/0), S(a/0), S(0/-b), S(0/b)
03.11.2009, 00:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung ist soweit richtig. Auf Grund der Division durch $\begin{eqnarray} (1 + \lambda) \end{eqnarray}$ und der Kehrwertbildung der Brüche sind die Werte -1, 1 und -1/2 von vornherein auszuschließen. Bei der Untersuchung auf Ellipsen ist allerdings auch noch der Fall auszuschließen, dass gerade ein Kreis entsteht (a = b). Das ist bei $\begin{eqnarray} \lambda = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ der Fall. Weshalb? _______________ Die Mittelpunkte aller Ellipsen und Hyperbeln liegen tatsächlich alle in (0; 0). Einen achsenparallelen Kegelschnitt erkennt man am Auftreten eines linearen x- oder y-Gliedes in der Funktionsgleichung. Die Gleichung einer Ellipse (a = 4, b = 3) mit dem Mittelpunkt M(1; 5) würde daher so lauten: $\begin{eqnarray} \frac{(x-1)^2} {16} + \frac{(y-5)^2} 9 = 1 \end{eqnarray}$ mY+
03.11.2009, 10:25	hiars123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelschnitte Das gibt natürlich Sinn. Für Lambda=0,5 $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{4(1+\lambda) }{1+2\lambda }^2}=\sqrt{\frac{1+\lambda }{1-\lambda }^2 } \end{eqnarray}$ somit haben die Halbachsen den selben Wert: a=b= $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Wenn nun nach den Grenzfällen gefragt ist, muss dies mit Limes untersucht werden? Grenzwerte wären: Lambda = (-unendlich ; -1 ; -0,5 ; 1 ; +unendlich) Der Kreis, als "Sonderfall" ist auch ein Grenzfall oder? Vielen Dank mfg hiars123
03.11.2009, 23:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Limes brauchst du meines Wissens hier nicht. Es kommt nur auf den Vorzeichenwechsel der Koeffizienten an, daher sind Fallunterscheidungen angesagt. Daraus ergeben sich die entsprechenden Defintionsmengen. Die ausgeschlossenen (unerlaubten) Fälle sind die Nullstellen des Divisors bzw. die Nenner der Brüche. mY+

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