Erzeugendensystem des Vektorraums Q²

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Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem des Vektorraums Q²
Hallo,
ich sitze hier schon seit einer Stunde und komme bei einer wahrscheinlich simplen Aufgabe nicht weiter.
Wenn ich diese Aufgabe nicht löse, dann brauche ich die anderen nicht mal anzufangen.

Also es geht um folgende Aufgabenstellung:

Welche der folgenden drei n-Tupel (n=3 bzw 2 bzw 4) von paaren rationaler Zahlen sind Erzeugendensysteme des Vektorraums Q² (über Q). Anm. das Q ist dieses Q für den mathematischen Zahlenbereich.

a. ((0,3),(-1,1),(4,2))
b. ((1,-2),(1,1))
c. ((6,12),(0,0),(-5,10),(3,6))

Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.

Ich weiß nicht mal, was ich mit diesen Zahlen machen soll und was ein Vektorraum Q² ist.
Eine kurze Erklärung wäre auch sehr super, da ich es auch verstehen möchte.

-Danke im voraus


Hab Dich hierher verschoben, wo Du besser aufgehoben bist.
Gruß, Gualtiero
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem des Vektorraums Q²
Sieht aus wie Hochschulmathe.
Wenn ja, welches Fachgebiet?
 
 
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist Hochschulmathematik bzw. Mathematik der Universität.
Es handelt sich hierbei um das erste Semester "Einführung in die Mathematik 1".
Das Kapitel ist Systeme linearer Gleichungen.
Fachgebiet ist "Mathematik, Physik und Informatik". Sprich, alle drei Studienrichtung haben dieses Mathematik.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Scavenger,

ist die Menge aller rationalen Zahlenpaare, also:


Mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation wird das ganze zu einem -Vektorraum. Verdeutliche Dir das bitte anhand von Vorlesungsmitschriften/Fachliteratur/Internetquellen, denn es lohnt sich, hier alles wiederholt durchzukauen, was schon x-mal beschrieben wurde.

Danach prüfe, ob Du jedes Element aus als Linearkombination der angegebenen Tupel erzeugen kannst.
Also: Sei beliebig. Gibt es dann , mit ?

Gruß,
Reksilat.
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, hat mir schon mal etwas weiter geholfen.
Habe heute in der Uni ein paar Leute gefragt und die wissen leider auch nicht wie es geht.

Also im Skriptum steht, dass ein Erzeugendensystem auf mindestens eine Weise als Linearkombination geschrieben werden kann.

Linearkombination:

w= c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 (w V ; V - Vektorraum)

Jetzt wäre es bei Beispiel a) wie du sagstest:

(a,b) = c1*(0,3) + c2*(-1,1) + c3*(4,2)

Wie kann ich anhand dieses Beispiels nun überprüfen, dass es sich um ein Erzeugendensystem von Q² handelt?

Habe nun schon Stunden rumprobiert und gesucht, aber leider nichts brauchbares gefunden. unglücklich
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein einfacheres Beispiel:

Weshalb ist ein Erzeugendensystem von ?
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Beispiel von zwei die wir gemacht haben.

Also ich habe im Skriptum folgendes notiert:

(a,b) = a*(1,0) + b*(0,1)

das zusammengezählt ergibt dann (1 a, 1 b) = (a, b)

stimmt das soweit?

Danke übrigens für deine Mühe. smile

Komme mir irgendwie wie ein vollidiot vor...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scavanger
Also im Skriptum steht, dass ein Erzeugendensystem auf mindestens eine Weise als Linearkombination geschrieben werden kann.

Ist das wirklich der originale Wortlaut im Script? Ich wäre geneigt, dagegen zu wetten.

Zitat:
Original von Scavanger
Jetzt wäre es bei Beispiel a) wie du sagstest:

(a,b) = c1*(0,3) + c2*(-1,1) + c3*(4,2)

Wie kann ich anhand dieses Beispiels nun überprüfen, dass es sich um ein Erzeugendensystem von Q² handelt?

Du mußt eben zeigen, daß es zu jedem beliebigen (a, b) geeignete Skalare c1, c2 und c3 existieren, so daß eben (a, b) wie oben angegeben dargestellt werden kann.
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. smile

Habe mal im Anhang die Definition im Skript kopiert und es markiert. smile


Muss ich jetzt beim Beispiel a) c1, c2 und c3 finden, so dass "oben" und "unten" "1" rauskommt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scavanger
Habe mal im Anhang die Definition im Skript kopiert und es markiert. smile

Siehe da. Da steht:

Ein n-Tupel von Vektoren in V heißt genau dann Erzeugendensystem von V, wenn jeder Vektor in V auf mindestens eine Weise als Linearkombination geschrieben werden kann.

Das klingt deutlich anders als bei dir. Wette gewonnen. smile

Zitat:
Original von Scavanger
Muss ich jetzt beim Beispiel a) c1, c2 und c3 finden, so dass "oben" und "unten" "1" rauskommt?

Nein, es muß der Vektor (a, b) rauskommen.
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt der Satz
"Ein n-Tupel von Vektoren in V heißt genau dann Erzeugendensystem von V, wenn jeder Vektor in V auf mindestens eine Weise als Linearkombination geschrieben werden kann."
nun, dass ich für alle Vektoren das gleiche c1, ... cn verwenden muss?
Sprich das c1 für "a" das gleiche c1 ist wie für "b"?

Zweite Frage:

Wie kann ich jetzt bestimmen, ob es ein Erzeugendensystem vom Vektorraum Q² ist?
(a,b) = c1*(0,3) + c2*(-1,1) + c3*(4,2)
Ich meine ich kann doch für c1, c2, c3 alles mögliche einsetzen und es kommt a bzw. b raus.

Z.B. setze ich für c1 , c2 , c3 = 1.

dann ist (a,b) = 1*(0,3) + 1*(-1,1) + 1*(4,2) = (3,6)

Dann kann ich doch jede beliebige Zahl einsetzen oder irre ich mich da?

(a,b) ist doch an nichts gebunden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scavanger
Heißt der Satz
"Ein n-Tupel von Vektoren in V heißt genau dann Erzeugendensystem von V, wenn jeder Vektor in V auf mindestens eine Weise als Linearkombination geschrieben werden kann."
nun, dass ich für alle Vektoren das gleiche c1, ... cn verwenden muss?

Nein. Für verschiedene Vektoren darfst du auch verschiedene c1, ..., c_n -Kombinationen nehmen.

Zitat:
Original von Scavanger
dann ist (a,b) = 1*(0,3) + 1*(-1,1) + 1*(4,2) = (3,6)

Dann kann ich doch jede beliebige Zahl einsetzen oder irre ich mich da?

Da irrst du. In deinem Beispiel kommt eben (3, 6) raus. Aber nicht (a, b). Wenn ich mir was anderes für (a, b) ausgedacht habe, dann guckst du schon in die Röhre.

Das Spiel lautet: jeder in Deutschland denkt sich ein (a, b) aus. Und du mußt zeigen, daß es für jeden ausgedachten Vektor eine Linearkombination gibt. Willst du jetzt durch ganz Deutschland tingeln, die Leute befragen und jedem sagen, welche Linearkombination sie nehmen sollen. Oder willst du nicht lieber eine Internetseite machen, wo jeder seinen Vektor eingeben kann, und du mit einem kleinen Rechenrezept eine Linearkombination ausspuckst? Und genau um dieses Rezept geht es.
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

"Nein. Für verschiedene Vektoren darfst du auch verschiedene c1, ..., c_n -Kombinationen nehmen."

Kann also zum Beispiel (auf das Beispiel bezogen).

a = c1*0 + c2*-1 + c3*4
und
b = c1*3 + c2*1 + c3*2

das c1 bei "a" anders sein als das "c1" bei "b"?



"Da irrst du. In deinem Beispiel kommt eben (3, 6) raus. Aber nicht (a, b). Wenn ich mir was anderes für (a, b) ausgedacht habe, dann guckst du schon in die Röhre."

a und b sind doch eine Zahl und wenn ich mindestens eine Zahl finde (in diesem Fall (3,6)), dann kann ich es doch als "mindestens eine" Linearkombination schreiben und somit wäre es doch ein Erzeugendensystem.
Aber das geht ja mit allen Zahlen, deshalb erschließt sich mir der Sinn nicht.


Also ich muss jetzt ein c1, c2, c3 finden, dass "a" rauskommt.
Im fall
a = c1*0 + c2*-1 + c3*4 gibt es doch unendlich viele Möglichkeiten, da "a" ja an nichts gebunden ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scavanger
Kann also zum Beispiel (auf das Beispiel bezogen).

a = c1*0 + c2*-1 + c3*4
und
b = c1*3 + c2*1 + c3*2

das c1 bei "a" anders sein als das "c1" bei "b"?

Nein, natürlich nicht. Du hast da ja nur die Vektorgleichung in 2 Gleichungen für die einzelnen Komponenten aufgelöst. Da bleibt in jeder Gleichung das c1 eben c1, usw.

Zitat:
Original von Scavanger
Aber das geht ja mit allen Zahlen, deshalb erschließt sich mir der Sinn nicht.

Genau das ist eben die Frage. Würde denn ein Erzeugendnsystem, das lediglich aus ((0,1)) besteht, ausreichen?

Zitat:
Original von Scavanger
Also ich muss jetzt ein c1, c2, c3 finden, dass "a" rauskommt.
Im fall
a = c1*0 + c2*-1 + c3*4 gibt es doch unendlich viele Möglichkeiten, da "a" ja an nichts gebunden ist.

Wieviele Möglichkeiten es gibt, ist völlig wurscht. Es reicht, wenn du eine angibst.
Wie wäre es mit c2 = -a und c3 = 0 ?
Jetzt mußt du nur schauen, ob das auch für die Gleichung mit b paßt. Beachte, daß wir für das c1 noch keine Festlegung getroffen haben, so daß du hier noch eine Stellschraube hast.
Scavanger Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die sehr hilfreiche Antwort.

Also wenn ich c2=-a und c3=0 setze, dann bekomme ich "oben" a=a heraus.

Wenn ich c1=0 setze, dann bekomme ich "unten" b-a=0 heraus.

Bringt mich das jetzt irgendwie weiter und wenn ja, wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da bringt dich gar nicht weiter. Du hast die Gleichung:

b = c1*3 + c2*1 + c3*2

Wir hatten zum Erfüllen der ersten Gleichung c2=-a und c3=0 gewählt. Jetzt setzst du das mal in obige Gleichung ein und löst das nach c1 auf.
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