neue Induktion neues Problem

02.11.2009, 21:08

Cyberman

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neue Induktion neues Problem

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IA n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^1~\frac{1}{j(j+1)} = \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

IV ( # - IV wird eingesetzt)

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IS ( Schluss von n => n+1 )

Ziel ist es am ende $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+1+1} \end{eqnarray*}$ dastehen zu haben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\frac{1}{j(j+1)} = \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} + \frac{1}{1(1+1)} \end{eqnarray*}$

jetzt setzen wir die IV ein:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2n+n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

und hier taucht jetzt das Problem auf wie komme ich auf meine IV?

02.11.2009, 21:22

MLRS

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RE: neue Induktion neues Problem

Zitat:

Original von Cyberman
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\frac{1}{j(j+1)} = \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} + \frac{1}{1(1+1)} \end{eqnarray*}$

Falsch!

geschockt

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\frac{1}{j(j+1)} = \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

das ist dir hoffentlich klar...jetzt versuchs nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2009, 21:22

Bakatan

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Nur als "kleiner" Hinweis: Thread

Und es wurde erneut die Summe falsch auseinander gezogen.
Was ist denn das n+1 Glied der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}\frac{1}{j(j+1)} \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2009, 21:38

Cyberman

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RE: neue Induktion neues Problem

Zitat:

Original von MLRS

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\frac{1}{j(j+1)} = \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

das ist dir hoffentlich klar...jetzt versuchs nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn das j ein n wäre, wäre es mir klar - aber so x_x leider nein

okay beim genaueren hinsehen ist es doch klar x_x es muss nur erstmal gepostet werden damit es auffällt smile

smile

--- back 2 the paper

02.11.2009, 21:44

Cyberman

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RE: neue Induktion neues Problem
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1}~\frac{1}{j(j+1)} = \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} + \frac{1}{n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

jetzt setzen wir die IV ein:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

hm wenn man das jetzt aufaddiert kommen da unschöne sachen raus

02.11.2009, 22:05

Bakatan

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Da kommt was super schönes raus, wenn du das aufaddierst, aber das ist viel zu umständlich in der Form deiner letzten Zeile (außerdem habe ich das ungute Gefühl, du hast aufaddiert ohne den Hauptnenner zu bilden? Oder dich verrechnet. )
Multipliziere lieber gar nicht erst aus sondern bilde gleich den Hauptnenner.

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02.11.2009, 22:08

Cyberman

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RE: neue Induktion neues Problem
ich hoffe deine Erwartungen zu übertreffen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^3+3n^2+2n+n+1}{n^3+3n^2+2n+n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

ähm und noch eine Frage hinterher : Was meinst du mit gleich den Hauptnenner bilden?

02.11.2009, 22:19

Bakatan

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Da du die Lösung die herauskommen soll kennst kann man "so rein zufällig" im Zähler (n+1) und im Nenner (n+2) ausklammern.
Aber wie gesagt, bleib lieber bei $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ und bilde den Hauptnenner, addiere und sieh dann weiter.

02.11.2009, 22:29

Cyberman

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wie Bilde ich den Hauptnenner? - bei den ganzen variablen bin ich schnell verwirrt Hammer

Hammer

02.11.2009, 22:32

Cyberman

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evtl

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

02.11.2009, 22:52

Bakatan

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Wieso hast du jetzt (n+1) beim zweiten Bruch noch einmal extra drauf gepackt? Der ganze Term ist offensichtlich bereits durch (n+1) kürzbar um eine etwas anschaulichere Form zu erhalten. Der Rest ist dann relativ simpel, du kannst den Zähler ausmultiplizieren, den Rest solltest du sehen.

edit: Zusatztipp: bei sowas nie aus den Augen verlieren, was eigentlich herauskommen soll.

02.11.2009, 22:57

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a*d+c*b}{b*d} \end{eqnarray*}$

oder habe ich da etwas falsch verstanden?

edit:
naja
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$
ist das Ziel - ich finde es SEHR schwer zu sehen wie und wo und warum man jetzt etwas umformen ausklammern binomisch polinomendivision etc machen muss um zum Ziel zu kommen.

02.11.2009, 23:06

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von Cyberman

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a*d+c*b}{b*d} \end{eqnarray*}$

oder habe ich da etwas falsch verstanden?

Nein, aber es ist nicht sinnvoll, beide Brüche auf den Nenner (n+1)(n+1)(n+2) zu bringen. Ein besserer gemeinsamer Nenner ist doch einfach (n+1)(n+2). Erweitere den linken Bruch mit n+2.

Zitat:

Original von Cyberman

ist das Ziel - ich finde es SEHR schwer zu sehen wie und wo und warum man jetzt etwas umformen ausklammern binomisch polinomendivision etc machen muss um zum Ziel zu kommen.

Die binomische Formel ist der sinnvollste Ansatz. Man könnte auch eine Polynomdivision (mit „y“!) machen, aber das wäre übermäßiger Aufwand.

// @ Bakatan: Tut mir leid wegen der Einmischung. Ich hab nicht gesehen, dass Du aktuell hier hilfst.

02.11.2009, 23:07

Bakatan

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Brüche darf man allgemein addieren, wenn die Nenner gleich sind. Die von dir erwähnte Rechenregel stimmt natürlich, aber wenn Teile des Nenners bereits gleich sind, brauch man sie nicht noch einmal extra zu berücksichtigen.
Dein Ergebnis stimmt natürlich dementsprechend, aber ist etwas überzogen, da man (n+1) super ausklammern und kürzen kann.

Danach bleibt es gleich: Zähler ausmultiplizieren und dann scharf hinsehen.

02.11.2009, 23:23

Cyberman

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ja das klingt logisch x_x mir fehlt zur Zeit etwas die Übung und die Routine - habe zulange wenig bis kein Mathe gehabt und an den "einfachen" rechenoperationen harpert es etwas x_x aber mit genügend Übung und so einem Tollen Forum wird das schon mit der Zeit ... hoffe ich verwirrt

verwirrt

also weiter im Text:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)}{(n+2)} \end{eqnarray*}$

q.e.d. (das wollte ich schon immer mal schreiben)

Vielen lieben Dank für die Gedult und die tollen Ratschläge soweit Willkommen

Willkommen

als weitere Aufgabe habe ich noch : Beweisen Sie die Aussage direkt.

mein Ansatz wäre jetzt zu versuchen ohne die Indunktionsvorraussetzung einzusetzen auf meine IV zu kommen? oder ist das der ganz falsche Weg?

02.11.2009, 23:42

Bakatan

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Freude

Der direkte Weg ließ mich auch erstmal stocken, die Aufgabe ist so typisch für Induktion. Aber PBZ und ein bisschen Summationsgrenzen verschieben hilft.
Falls du Partialbruchzerlegung nicht kennst kannst du dir auch durch tüfteln überlegen, durch welche zwei Brüche zu den zu summierenden Term darstellen kannst. Dann wie gesagt suchen, wie man die eine Summe umschreiben kann, sodass der Großteil der anderen entspricht.

@Jacques: Ich habe ( in jedem normalen Fall ) grundsätzlich nichts dagegen, falls jemand anderes mithilft. Ich versuche zwar immer, die Threads bis zum Ende zu verfolgen, wenn ich einmal angefangen habe, kann dies aber auch manchmal nicht. Es kann auch passieren, dass ich keine alternative Formulierung finde und die aktuelle jedoch unverständlich für den Fragesteller ist.
Ich finde es angenehmer, wenn ich Threads auch wieder ablegen kann, falls ich z.B. für ein paar Stunden weg muss oder ähnliches. Normal habe ich dann Angst davor, dass andere nach dem Motto "da hat schon wer geantwortet, dass wird schon passen" gehen und es Stundenlang nicht weiter läuft.
Dann denke ich mir manchmal "ach das bisschen geht noch" und hänge wieder kurz vor Mitternacht hier obwohl der Wecker auf 06:40 steht...

edit: Und ich bin nun auch weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2009, 23:52

Cyberman

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$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j(j+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

kann man auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

ich tue mich noch etwas schwer mit dem j und dem n
ich denke eine geschickte Thermverschiebung wäre angebracht - aber wie die aussehen müsste stellt mich vor ein großes Rätsel.

03.11.2009, 00:00

MLRS

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Zitat:

Original von Cyberman
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Freude

Schau mal genau auf die Summe Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenns nicht klingelt schreib dir mal die ersten Terme der Summe hin Big Laugh

Big Laugh

edit: bin jetzt auch weg

03.11.2009, 00:12

Jacques

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Zitat:

Original von MLRS

wenns nicht klingelt schreib dir mal die ersten Terme der Summe hin Big Laugh

Big Laugh

Oder setze

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{j} = a_j \end{eqnarray*}$

und entsprechend

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{j + 1} = a_{j+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{j = 1}^n a_j - a_{j + 1} = a_1 \underbrace{- a_2 + a_2}_{=0} \underbrace{- a_3 + a_3}_{=0} \pm \ldots - a_{n+1} = a_1 - a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Es ist eine Teleskopsumme.

Übrigens: Term ohne h. Und eine „Termverschiebung“ gibt es m. E. nicht, nur eine Indexverschiebung, die aber in dem Fall keinen Sinn ergibt.

03.11.2009, 00:13

Cyberman

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in arbeit

03.11.2009, 00:30

Cyberman

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Zitat:

Original von Jacques
...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{j} = a_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{j + 1} = a_{j+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{j = 1}^n a_j - a_{j + 1} = a_1 \underbrace{- a_2 + a_2}_{=0} \underbrace{- a_3 + a_3}_{=0} \pm \ldots - a_{n+1} = a_1 - a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Übrigens: Term ohne h. Und eine „Termverschiebung“ gibt es m. E. nicht, nur eine Indexverschiebung, die aber in dem Fall keinen Sinn ergibt.

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j = 1}^n a_j - a_{j+1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Entschuldigung für die Rechtschreibfehler x_x und ja ich meinte Indexverschiebung und jetzt erscheint mir das auch recht frei von Sinn.

Vielen Dank für die Tolle Unterstützung !!! Willkommen

Willkommen

edit: fehler korrigiert smile

smile

Danke Nochmals

03.11.2009, 00:37

Jacques

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Zitat:

Original von Cyberman

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j = 1}^n a_1 - a_{n+1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Statt a1 musst Du natürlich aj schreiben und a_(j+1) statt a_(n+1). Aber sonst ist alles richtig. Das mit dem a... musst Du in der tatsächlichen Lösung nicht benutzen, das sollte nur die Summeneigenschaft für Dich deutlicher machen.

// edit: Alles klar. Freude

Freude

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