Beweisführung zur Eigenschaft "transitiv" bei Relationen |
| 03.11.2009, 16:09 | xxMaddinxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweisführung zur Eigenschaft "transitiv" bei Relationen vielleicht kann mir jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen: [gegeben ist die Relation R:= {x,y)? ZxZ |xy-x² ist gerade} Aufgabe: Ist die Relation transitiv? Beweis!] Ich denke, die Relation hat die Eigenschaft "transitiv", allerdings komme ich bei dem Beweis nicht weiter. Meine Idee wäre ein Ansatz mit vier verschiedenen Fällen: Fall 1: x gerade, y gerade Fall 2: x gerade, y ungerade Fall 3: x ungerade, y gerade Fall 4: x ungerade, y ungerade Für Fall 2 z.B. setze ich x = 2k(also gerade), y = 2j + 1(also ungerade) mit k,j ? Z Bekomme dann für alle Fälle ein gerades Ergebnis, außer für Fall 3. An dieser Stelle weiß ich jetzt aber nicht, wie ich mit dieser Erkenntnis meinen Beweis möglichst "mathematisch" weiterführen kann. Hat jemand eine Idee dazu, oder eine Idee für einen komplett anderen Ansatz? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar! Gruß Maddin |
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| 03.11.2009, 16:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst eigentlich eine solch aufwendige Fallunterscheidung nicht. Zunächst einmal schauen wir uns die Relation genauer an. bedeutet, dass entweder x gerade ist oder x und y beide ungerade sind. Wir wissen: und Wir wollen folgern: Dazu betrachten wir: Wenn nun x gerade ist, ist die Sache erledigt, dann folgt sofort . Falls aber x ungerade ist... |
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| 03.11.2009, 17:43 | xxMaddinxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke tmo für die schnelle Antwort! Die Umformung zu x(y-x) war mir so nicht eingefallen, gefällt mir. Beweis nach deinem Vorschlag: --------------------------- xy-x² = x(y-x) Für die Eigenschaft "transitiv" muß aus xRy und yRz folgern: xRz Für x(z-x) folgt für alle geraden x : xRz Für x(z-x) folgt für alle ungeraden x, dass z ebenfalls ungerade sein muß. Dies ist durch x(y-x) und y(z-y) immer gegeben/erfüllt/?? ---------------------------- Genügt das als Beweis? Ist auf alle Fälle um einiges kürzer als mein bisheriger "Aufsatz"! |
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| 03.11.2009, 18:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das musst du noch besser begründen. Es ist xRy, also x(y-x) gerade. Da x ungerade ist, muss y also auch ungerade sein. Weiterhin ist yRz, also... |
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| 03.11.2009, 18:44 | xxMaddinxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, war von der Möglichkeit der Kürze wohl etwas zu berauscht... 
----------------------- Es ist xRy, also x(y-x) gerade. Da x ungerade ist, muss y also auch ungerade sein. Weiterhin ist yRz, also y(z-y) gerade. Da y ungerade ist, muss also auch z ungerade sein. Da sowohl x als auch z ungerade sind, gilt xRz, denn x(z-x) liefert in diesem Fall immer gerade Werte! ----------------------- So müßte es dann aber ok sein, oder? Und vielen Dank noch mal!! |
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| 03.11.2009, 18:45 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es ok. |
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