Nicht-Eindeutigkeit der Lösung (AWP)

03.11.2009, 16:26	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-Eindeutigkeit der Lösung (AWP) Zeigen Sie: Das Anfangswertproblem hat keine eindeutige Lösung, indem Sie mehrere Lösungen angeben. $\begin{eqnarray} y'=\sqrt{\|y\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)=0 \end{eqnarray}$ Mit Trennung der Variablen komme ich auf $\begin{eqnarray} y=({\frac{x}{2}})^2 \end{eqnarray}$ , was die gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Nun soll ich noch weitere Lösungen finden, um zu Zeigen dass die Lösung nicht eindeutig ist. Im Tutorium hat die Tutorin einfach y=0 gesetzt. Kann ich hier jetzt auch einfach sagen y=0, das erfüllt das AWP ja auch ?
03.11.2009, 17:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann doch nun wirklich nicht so schwer sein zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ die vorliegende DGL löst. Allerdings ist das von dir angegebene $\begin{eqnarray} y(x) = \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{x^2}{4} \end{eqnarray}$ KEINE Lösung der DGL auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , denn die Probe misslingt für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y' = \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sqrt{\|y\|} = \frac{\|x\|}{2} \end{eqnarray}$ . EDIT: Hatte gleich so ein Déjà-vu bei dieser DGL.
03.11.2009, 20:30	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersteres ist wirklich einfach zu sehen, es kam mir nur zu einfach vor. Lieber nachgefragt.... Das mit dem Betrag und der Wurzel etwas bei unseren Umformungen im Argen ist haben wir auch schon geahnt, allerdings noch nicht wirklich den Fehler gefunden.
03.11.2009, 20:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann such mal schön... Neben dem verlinkten Thread gebe ich auch noch folgendes zu bedenken: Die rechte Seite $\begin{eqnarray} \sqrt{\|y\|} \end{eqnarray}$ der DGL ist offenbar stets nichtnegativ. Also ist $\begin{eqnarray} y'\geq 0 \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , woraus unmittelbar folgt, dass jede denkbare Lösung der DGL monoton wachsend sein muss - was ganz offenbar von $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{4} \end{eqnarray}$ auf der negativen Halbachse verletzt wird.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »