DGL / Anfangswertproblem

03.11.2009, 16:53	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL / Anfangswertproblem Hey Aufgabe: Lösen Sie das AWP $\begin{eqnarray} xy'+y=\ln(x) \end{eqnarray}$ , y(1)=1. Komme bei dieser Aufagbe nicht weiter. Vielleicht habe ich auch einen falschen Ansatz gewählt... Habe die DGL zuerst in folgende Form überführt: $\begin{eqnarray} y'+ \frac{y}{x}=\frac{\ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ Somit ergibt sich die homogene Gleichung: $\begin{eqnarray} y_h(x)=Ce^{-\int{\frac{1}{x}}dx}= \dots = \frac{C}{x} \end{eqnarray}$ Wie komme ich denn jetzt zur inhomogenen Gleichung? Vielen Dank schon mal für Hilfe.
03.11.2009, 17:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du gemäß Methode "Variation der Konstanten" vorgehst, dann liefert dir die homogene Lösung den Ansatz $\begin{eqnarray} y_p(x) = \frac{C(x)}{x} \end{eqnarray}$ , also mit Funktion $\begin{eqnarray} C(x) \end{eqnarray}$ statt Konstante $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Den Ansatz setzt du jetzt in deine originale inhomogene Gleichung ein und vereinfachst. P.S. (nicht ernst nehmen): Im Schnelldurchgang hätte man den ersten Schritt oben übrigens via $\begin{eqnarray} (xy)' = xy'+y \end{eqnarray}$ nehmen können. Aber es geht hier ja nicht um Tricks, sondern das Erlernen soliden Handwerks.

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