Determinantenverfahren zum Prüfen auf lineare Abhängigkeit

Neue Frage »

Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenverfahren zum Prüfen auf lineare Abhängigkeit
hey
ich hab das Determinantenverfahren in einer Klausur zur Prüfung auf lineare Abhängigkeit verwendet. Also so

| x1 y1 z1 | x1 y1
| x2 y2 z2 | x2 y2
| x3 y3 z3 | x3 y3


bei den vektoren und

Wenn dann die Hauptdeterminante = 0 sind -> die Vektoren sind linear abhängig
Ist die Hauptdeterminante ungleich 0 -> die Vektoren sind linear unabhängig

Jetzt will mein Lehrer das ich ihm detailliert erkläre warum das so ist weil er mir sonst keine Punkte gibt

Kann mir jemand helfen?
ich hab in meinem Mathebuch geforscht.. da bin ich darauf gekommen das wenn die Determinante =0 ist das LGS homogen ist und entweder nur die Lösung (0; 0;0) oder unendlich viele Lösungen hat ... aber das passt ja nicht zum Verfahren oder


Könnt ihr mir bitte helfen? Benötige dringend hilfe

DANKE smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinantenverfahren zum Prüfen auf lineare Abhängigkeit
überlege doch mal, wie ist lineare unabhängigkeit definiert?

vektoren sind doch genau dann linear unabhängig wenn die linearkombination

nur die triviale lösung a=b=c=0 hat.

wir bilden das LGS und die koeffizientanmatrix:




wenn die determinante gleich null ist heisst das, wir können mit spaltenoperationen eine nullspalte erzeugen;
das heisst aber, die lösungen sind entweder (0,0,0), man kann hier auch einen lösungsraum bekommen, bespielsweise eine gerade oder eine ebene, was aber bedeutet, dass die drei vektoren nur einen 1 bzw. zweidimensionalen unterraum aufspannen, also wieder linear abhängig sind.
andersherum ist es so, dass wenn die determinante ungleich null ist, die vektoren den gesamten dreidimensionalen reellen raum aufspannen.
 
 
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh das leider nicht so ganz unglücklich
Also wenn es eine Nullspalte gibt weiß man automatisch das die Hauptdeterminante 0 ist? Aber wann weiß ich ob ich eine einfügen kann ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

du fügst keine ein, du erzeugst eine.
ich nehme mal nen beispiel, wir betrachten die matrix



diese bringen wir auf zeilenstufenform:
wir multiplizieren die zweite zeile mit -3 und addieren die erste auf die zweite zeile; ebenso multiplizieren wir das 8-fache der ersten auf das -3-fache der zweiten und erhalten:


nun addieren wir das -2 fache der zweiten spalte zur dritten und es entsteht


und wir haben eine nullzeile erzeugt. rechne mal die determinante von A aus, sie ist null, d.h. bei solchen zeilenumformungen entsteht, wenn die determinante null ist eine nullzeile oder bei spaltenumformungen analog eine nullspalte.
was bedeutet dies nun für den lösungsraum?
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

das es keine oder unendlich viele Lösungen gibt?
aber man weiss doch gar nicht was A ist? Also was auf der rechten seite des LGS steht ?? oder steht da dann auch

3a+ 5b +4c=0
1a+ 3b +2c=0
8a+16b+12c=0
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

keine ist falsch ausgedrückt, es gibt ja die lösung (0,0,0) oder der lösungsraum ist eine gerade (jedenfalls in diesem speziellen fall, allgemein kann der lösungsraum auch eine ebene sein, dann kann man zwei nullzeilen erzeugen).
und stimmt, die Matrix A ist die Koeffizientenmatrix des LGS:
3a+5b+4c=0
1a+3b+2c=0
8a+16b+12c=0
also


schau dir die drei vektoren mal an und setze a=0,5 und b=1,5 und c=0
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss nicht genau, aber vielleicht reicht deinem lehrer auch die aussage, dass die determinante das volumen des von den vektoren aufgespannten körpers ist, ist das volumen gleich null, so liegen die vektoren in einer ebene oder auf einer geraden, sind also linear unabhängig.
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal für deine Erklärungen , es ist mir glaub ich schon ein wenig klarer geworden.

Aber ich versteh nicht wieso man mit den Determinanten ein Volumen berechnet? Wir haben das Determinanteverfahren als Alternative zum Gauss verfahren gelernt um LGS zu lösen?


Und wenn man davon ausgeht, dass wenn die Hauptdeterminante 0 ist, dass LGS dann nur eine Lösung (0,0,0) hat oder unendlich viele Lösungen, ist dann für die Lineare Abhängigkeit die unendlich vielen Lösungen unwichtig?
Mir ist schon klar, dass die Vektoren linear unabängig sind wenn es nur die triviale Lösung (0;0;0) gibt.. aber was ist mit den Unendlichen Lösungen?
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

keine ist falsch ausgedrückt, es gibt ja die lösung (0,0,0) oder der lösungsraum ist eine gerade (jedenfalls in diesem speziellen fall, allgemein kann der lösungsraum auch eine ebene sein, dann kann man zwei nullzeilen erzeugen).
und stimmt, die Matrix A ist die Koeffizientenmatrix des LGS:
3a+5b+4c=0
1a+3b+2c=0
8a+16b+12c=0
also


schau dir die drei vektoren mal an und setze a=0,5 und b=1,5 und c=0

Wenn man die Vektoren addiert erhält man den Vektor

das hieße ja dann das die Vektoren für a=0,5 und b=1,5 und c=0 linear unabängig sind... aber das meintest du glaub ich nicht oder
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, hatte mich vertippt, sollte a=b=0,5 heissen, dann kommt da (4,2,12) raus;
noch mal zu verständnis, vektoren sind nicht für bestimmte (a,b,c) linear abhängig oder linear unabhängig, sie sind genau dann linear abhängig, wenn es (a,b,c) ungleich (0,0,0) gibt, die das lgs lösen.

was du mit determinantenverfahren meinst ist mir unklar, kenne kein verfahren das so heisst und das einzige verfahren, das ich kenne um mit hilfe von determinanten ein LGS zu lösen ist die Cramersche regel und die setzt voraus dass die determinante ungleich 0 ist.

zu den unendlich vielen lösungen:
wenn es unendlich viele lösungen gibt, so ist der lösungsraum eine gerade oder eine ebene, wie viele punkte haben diese?
unendlich viele.
was bedeutet das für die drei vektoren?
sie liegen entweder auf einer geraden oder in einer ebene, wenn aber drei vektoren in einer ebene oder auf einer geraden liegen so sind sie linear abhängig, denn um eine ebene aufzuspannen brauchts nur zwei vektoren.
wenn der lösungsraum eine gerade ist, so liegen die drei vektoren aus denen du die matrix gebildet hast in einer ebene; ist der lösungsraum eine ebene, so verbleibt nach gauss-elimination nur noch ein vektor, sie liegen also auf einer geraden.
also sind die lösungen ausser (0,0,0) nicht relevant, denn in jedem fall liegt lineare abhängigkeit vor.

ist andersherum die determinante ungleich null, so spannen die vektoren den grösstmöglichen raum auf.

zum Volumen:
das war nur ne möglichkeit;
drei linear unabhängige vektoren schliessen mit ihrer länge einen körper ein, welches volumen hat dieser körper?
determinante der von den drei vektoren erzeugte matrix.

was ich jetzt noch ganz interessant fände wäre, wenn du mir das was ihr in der schule determinantenverfahren genannt habt mal vormachst;
ich habe den bösen verdacht, dass es sich da um die regel von sarrus zur berechnung von determinanten handelt und nicht um ein verfahren zum lösen von LGS (jedenfalls lässt dein erster beitrag darauf schliessen).
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu


was ich jetzt noch ganz interessant fände wäre, wenn du mir das was ihr in der schule determinantenverfahren genannt habt mal vormachst;
ich habe den bösen verdacht, dass es sich da um die regel von sarrus zur berechnung von determinanten handelt und nicht um ein verfahren zum lösen von LGS (jedenfalls lässt dein erster beitrag darauf schliessen).


du hast Recht! In meinem Mathebuch steht auch Regel von Sarrus, trotzdem haben wir das im Unterricht immer Determinantenverfahren genannt. Keine Ahnung wieso ?! Also ist "Determinantenverfahren" kein Synonym für die Regel von Cramer bzw Sarrus ?

aber ich glaub ich hab es jetzt Verstanden und kann es soweit erklären smile vielen dank für deine Hilfe smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

regel von Sarrus und cramersche regel unterscheiden sich, und ich kenne das synonym "determinantenverfahren" nicht, noch nie gehört vorher, ich bin eigentlich aus neugier, was das ist in diesen thread gestolpert....
ich glaube auch nicht, dass die cramersche regel noch von dir verlangt wird....
es sei denn, du hast mal vor, mathe, physik, informatik oder ingeneurswissenschaften zu studieren.
schön, wenn du es verstanden hast.
viel spass noch
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »