Supremum der leeren Menge

03.11.2009, 17:27	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum der leeren Menge Hallo, das ist mehr eine Überlegung die nur sehr indirekt mit einer Aufgabe zusammenhängt, also haltet euch nicht zurück, ich hab bei meinem Beweis jetzt darum herum gerudert =) Also ich musste für eine Folge von Mengen $\begin{eqnarray} (A_{k})_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray} \underset{k\to\infty}{\lim}diam(A_{k})=0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} diam(A_{k})=\sup \left\{d(x,y) \vert x,y\in A_{k}\right\} \end{eqnarray}$ in einem Rahmen der damit zusammenhängt ob im limes gilt, dass $\begin{eqnarray} \underset{k\to\infty}{\lim}A_{k}=\emptyset \end{eqnarray}$ oder nicht Da wir in der Vorlesung zu Maßtheorie $\begin{eqnarray} \inf \left\{ \emptyset \right\} := \infty \end{eqnarray}$ definiert hatten stellt sich mir die Frage, was denn $\begin{eqnarray} \sup \left\{\emptyset \right\} \end{eqnarray}$ wäre. Irgendwie finde ich bei Google dazu nichts und auch hier im Forum hab ich noch keinen Thread dazu finden können. Auf Wikipedia hatte ich im Rahmen der Ordnung der natürlichen Zahlen gelesen, dass es gleich 1 ist, aber irgendwie leuchtet mir das nicht ein. Am schönsten für mich wäre ja, wenn es 0 wäre, aber da niemand den ich kenne in egal welchem Semester dazu bisher eine Antwort wusste oder sich nicht festlegen wollte, dachte ich hier wär ich richtig. MfG
03.11.2009, 18:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Defintion $\begin{eqnarray} \operatorname{diam}(A) := \sup \left\{d(x,y) \vert x,y\in A\right\} \end{eqnarray}$ ist für leere $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ einfach nicht tauglich. Geht es um reelle Zahlen, dann wird meist $\begin{eqnarray} \sup \emptyset := -\infty \end{eqnarray}$ festgelegt, weil das am besten in Einklang steht mit den Rechenregeln. Aber hier in deinem Fall ist das eben unpassend, weil du dich mit deinen Metrikwerten nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , sondern nur $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray}$ bewegst.

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