DGL lösen mittels Substitution

03.11.2009, 17:37	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen mittels Substitution Hallo, ich bin mir bei dem Themengebiet noch ziemlich unsicher, es wäre nett wenn jemand über meine Lösung schauen könnte und mir bezüglich der AWPs ein Tip geben könnte. a) $\begin{eqnarray} y' = \sin^2 (t-y+3) \quad , \quad y(0)=3 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} u(t) = t - y(t) +3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u' = 1 - y' \quad \Rightarrow \quad y'=1-u' \end{eqnarray}$ in DGL einsetzen: $\begin{eqnarray} 1-u' = \sin^2 u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {\dd u}{\dd t} =1 - \sin^2 u = \cos^2 u \quad \Rightarrow \frac {\dd u}{\cos^2 u} = \dd t \quad \| \int \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \tan u = t + c \quad \Rightarrow u=\arctan (t+c) = t-y+3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y(t)= t+3-\arctan (t+c) \end{eqnarray}$ AWP lösen: $\begin{eqnarray} y(0)= 3 + \frac{3\pi}{2} = 3-\arctan (c) \quad \Rightarrow c=\tan \left(-\frac{3\pi}{2}\right) \end{eqnarray}$ Dort ist der Tangens nicht definiert, ist somit das AWP nicht lösbar oder hab ich den Fehler nicht gefunden? und zu b) $\begin{eqnarray} t^2y'-y^2-5ty-4t^2=0 \quad , \quad y(1)=-2 \end{eqnarray}$ Ich teile durch $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ , t darf nicht 0 sein und es geht keine Lösung verloren. $\begin{eqnarray} y'-\frac{y^2}{t^2}-\frac{5y}{t}-4=0 \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} z=\frac y t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z' = \frac{y't-y}{t^2} \quad \Rightarrow y'=\frac{z't^2+y}{t} \end{eqnarray}$ Das in die DGL einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{z't^2+zt}{t}-\frac{(zt)^2}{t^2}-\frac{5zt}{t}-4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z't+z-z^2-5z-4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=\frac 1 t \left(4z+z^2+4\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \frac {\dd z}{z^2+4z+4} = \int \frac {\dd t}{t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac {1}{2+z} = \ln \|t\| +c \quad \Rightarrow z = -\frac {1}{\ln \|t\| +c} - 2 \end{eqnarray}$ In y=zt einsetzen: $\begin{eqnarray} y = -t \left( \frac {1}{\ln \|t\| +c} + 2 \right) \end{eqnarray}$ Jetzt AWP: $\begin{eqnarray} y(1)=-2 = - 1 \left( \frac {1}{0 +c} + 2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1 c \neq 0 \end{eqnarray}$ Wie bei a) gibt es wieder keine Lösung für das AWP. Danke für eure Hilfe.
03.11.2009, 20:17	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand eine Idee, wo mein Fehler liegt? Ich habs noch nicht gefunden, aber mich interessiert wo der Fehler ist.

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