4 fache Verkettung einer Funktion mit sich selbst

03.11.2009, 17:53	test210	Auf diesen Beitrag antworten »
4 fache Verkettung einer Funktion mit sich selbst Hallo, ich habe folgende Funktion $\begin{eqnarray} f(x) &=1- \frac{9}{2x+4} \end{eqnarray}$ , diese Funktion habe ich jetzt 4 mal mit sich selbst verkettet also $\begin{eqnarray} f \circ f \circ f\circ f \end{eqnarray}$ . Bei einer Proberechnung ist mir aufgefallen, dass es die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, kann das sein oder war das nur Zufall, ich habe es nur mit ein paar Zahlen versucht?. MfG
03.11.2009, 18:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es gerade mit meinem CAS nachgerechnet: $\begin{eqnarray} f^4 = f \circ f \circ f \circ f \end{eqnarray}$ ist nicht die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , sondern die Identität $\begin{eqnarray} \operatorname{id} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f^4 = \operatorname{id} \end{eqnarray}$ Damit gilt $\begin{eqnarray} f^{-1} = f^3 \end{eqnarray}$ . EDIT (zum Weiterarbeiten: Zusammenhang mit Möbiustransformationen) Sind $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ komplexe Parameter, für die $\begin{eqnarray} ad-bc \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, so nennt man die Abbildung $\begin{eqnarray} f: \ \mathbb{C}_{\infty} \to \mathbb{C}_{\infty} \, , \ \ z \mapsto \frac{az + b}{cz + d} \end{eqnarray}$ auf der durch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ kompaktifizierten komplexen Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb{C}_{\infty} \end{eqnarray}$ eine Möbiustransformation. Die Möbiustransformationen bilden mit der Komposition $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ eine Gruppe $\begin{eqnarray} \mathfrak{M} \end{eqnarray}$ . Und diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe $\begin{eqnarray} \operatorname{SL}_2(\mathbb{C}) / \{ \pm E \} \end{eqnarray}$ der zweireihigen komplexen Matrizen mit Determinante 1, wobei Matrizen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, identifiziert werden (deswegen modulo $\begin{eqnarray} \{ \pm E \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ als Einheitsmatrix). Es ist nämlich $\begin{eqnarray} \operatorname{SL}_2(\mathbb{C}) \to \mathfrak{M} \, , \ \ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \ \left\{ z \mapsto \frac{az + b}{cz + d} \right\} \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus mit Kern $\begin{eqnarray} \{ \pm E \} \end{eqnarray}$ . Dem Produkt zweier Matrizen entspricht also im wesentlichen die Komposition der zugehörigen Möbiustransformationen. Auf das konkrete Beispiel angewandt, kann man so rechnen: $\begin{eqnarray} f(z) = 1 - \frac{9}{2z + 4} = \frac{2z - 5}{2z + 4} = \frac{\frac{2}{\sqrt{18}} \, z - \frac{5}{\sqrt{18}}}{\frac{2}{\sqrt{18}} \, z + \frac{4}{\sqrt{18}}} \end{eqnarray}$ Die Normierung zum Schluß wurde nur durchgeführt, damit $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{\sqrt{18}} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \ \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ ist. Und nun hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} \{ \pm E \} \end{eqnarray}$ die Ordnung 4, denn es gilt $\begin{eqnarray} A^4 = -E \end{eqnarray}$ .
03.11.2009, 20:50	steffen3	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort .

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