Äquivalenzklasse |
| 03.11.2009, 18:15 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Äquivalenzklasse Ich hab' heute folgende Aufgabe bekommen und weiß überhaupt nicht wie ich sie lösen soll. Sei K(R) [Wobei R steht für reelle Zahlen] die Menge der differenzierbaren Funktionen f: R------->R Wir nennen zwei Funktionen f,g K(R) äquivalent und schreiben f ("Wellenzeichen") g falls f'=g' Ich soll nun die Äquivalenzklasse einer gegebenen Funktion f K(R) angeben und zeigen dass jede Äquivalenklasse von ("Welle") genau einen Repräsentanten f mit f(0)=0 enthält. Ich freue mich schon auf eine Antwort. Moritz |
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| 03.11.2009, 18:23 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Das Stichwort ist Integrale. Die Äquivalenzklassen sind die unbestimmten Integrale der Ableitungen. Wenn also eine Funktion f gegeben ist, dann ist die Klasse von f die Menge {f + C | C element R}. |
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| 03.11.2009, 18:37 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte mir, dass es nun drei Typen von Äquivalenzklassen gibt und zwar, die der konstanten Funktionen f(x) = c deren Ableitung Null ist. Dann diejenigen deren Ableitung eine Konstanten ungleich Null ist und dann die Klassen der Funktionen deren Ableitung nx(hoch n-1) ist. |
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| 03.11.2009, 18:40 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Begriff Integral schießt hier aber mit Kanonen auf Spatzen. Die Aufgabe kann auch in einem Kontext gestellt werden/worden sein, indem das Integral noch gar nicht definiert ist. |
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| 03.11.2009, 18:49 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt. Den Begriff Integral haben wir noch nicht definiert. Jaques Antwort ist zwar richtig, jedoch muss ich das eben noch beweisen. Wie mach ich das? |
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| 03.11.2009, 18:58 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorab: Betrachtet Ihr nur Polynomfunktionen? In der Aufgabenstellung ist allgemein von reellen Funktionen die Rede, aber in Deiner Antwort untersuchst Du nur Polynomfunktionen. Wenn man ohne Integrale arbeiten soll, würde ich zeigen: Also zwei Funktionen haben genau dann dieselbe Ableitung bzw. sind äquivalent, wenn ihre Differenz konstant ist. Welche Form hat dann die Klasse zu einer bestimmten Funktion f? |
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| 03.11.2009, 19:20 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann ich das allgemein formulieren. Angenommen ich habe f(x) = x (ins Quadrat) +4 und g(x)= x (ins Quadrat) + 3 dann sind beide funktionen äquivalent zueinander, da sie beide der Äquivalenklasse der Funktionen mit f(x) = x(ins Quadrat + c angehören. Aber die ändert sich doch je nach dem wie die Funktion ist. |
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| 03.11.2009, 19:34 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst Du damit, dass sich die Klassen ändern? Es gibt unendlich viele Äquivalenzklassen, die alle diese Form haben: mit einer differenzierbaren Funktion f. Z. B. gibt es die Klassen Und eben auch Klassen von Polynomfunktionen. |
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| 03.11.2009, 19:45 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was ist dann nun die Äquivalenzklasse einer gegebenen Funktion? |
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| 03.11.2009, 20:18 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Äquivalenzklasse einer Funktion f liegen alle Funktion, deren Differenz mit f eine Konstante ist bzw. welche die Form f + C mit einer reellen Zahl C haben. In der Klasse von beispielsweise f(x) = 4x² + 15 liegen also etwa (f + 3)(x) = 4x² + 18 und (f - 15)(x) = 4x². |
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| 03.11.2009, 22:15 | Moritz87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ich das dann in etwa so beweisen: Behauptung: für alle f,g die der gleichen Äquivalenzklasse angehören gilt: f-g = c wobei c R (R steht für alle reellen Zahlen) Seien f,g zwei Funktion mit f,g K(R) für die die Behauptung zutrifft gegeben. Es gilt f-g= c <-->(f-g)'=c' <--->(f-g)'=0 <-->f'-g'=0<--->f'=g' --->f ("Welle") g |
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| 03.11.2009, 22:52 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so. 
Den letzten Pfeil würde ich auch noch in beide Richtungen machen, sodass man erhält: Alle Funktionen f und g sind genau dann äquivalent, wenn ihre Differenz konstant ist. Oder formal eben Für alle Funktionen f, g gilt Dann musst Du ja nur noch das mit dem f(0) = 0 beweisen: Wenn eine Äquivalenzklasse [f]~ gegeben ist, liegt mindestens f darin. f hat an der Stelle 0 irgendeinen Wert, gelte f(0) = c. Für welche Funktion von [f]~ gilt dann f(0) = 0? |
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