Ein paar Überlegungen zur Kreisgleichung/Kreisungleichung

03.11.2009, 19:06

Physinetz

Ein paar Überlegungen zur Kreisgleichung/Kreisungleichung

Hallo miteinander!

Voraussetzung sei x,y ist Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ² \end{eqnarray*}$ .

1)
$\begin{eqnarray*} x²+y²=1 \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} x=+/- \sqrt{1-y²} \end{eqnarray*}$

Habe ich nun für die Gleichung einen oder zwei Halbkreise? Weil die Lösungsmenge ist ja +/- ... also habe ich doch für die Gleichung $\begin{eqnarray*} x²+y²=1 \end{eqnarray*}$ einen ganzen Kreis ?

2.

Für $\begin{eqnarray*} x²+y²\leq 1 \end{eqnarray*}$ habe ich ja einen "ausgefüllten" a) Halbkreis b) ganzen Kreis?

3.

$\begin{eqnarray*} y-2*(x+1)² \geq 2 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich glaub ich keinen Kreis mehr, da y² fehlt ...

Aufgelöst nach y ergibt sich: $\begin{eqnarray*} y\geq 2x^2-4x+1 \end{eqnarray*}$

Hmm hier weiß ich dann nicht weiter...ist das der innere Bereich einer Parabel?

Vielen Dank für eure Hilfe

Grüße

03.11.2009, 19:32

Rechenschieber

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Die Kreisgleichung lautet:

x²+y²=r²

Bevor du dich ins Niemandsland katapultierst; der Kreis kann durchaus einen kleineren Radius als 1 (Eins) haben.
Nur: die Gleichung, die du aufgeschrieben hast, bezieht sich auf den Einheitskreis (r=1)

LGR

03.11.2009, 23:47

mYthos

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1.

Wenn die Kreisgleichung als explizite Funktion geschrieben werden soll, zerfällt sie in der Tat in zwei Funktionen (angesichts der Wurzel), allerdings musst du nach y umstellen, nicht nach x.
Die quadratische Kreisgleichung als Ganzes ist keine Funktion (warum nicht?), sie ist jedoch die implizite Zusammenfassung beider Funktionen (rot, grün).

3.

Es ist eine Parabel, stimmt. Ob die Ungleichung nun das Innere der Parabel beschreibt, wird jetzt aus dem Graphen klar ...

mY+

04.11.2009, 12:14

Physinetz

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Zitat:

Wenn die Kreisgleichung als explizite Funktion geschrieben werden soll, zerfällt sie in der Tat in zwei Funktionen (angesichts der Wurzel), allerdings musst du nach y umstellen, nicht nach x.

1.Explizit bedeutet, einmal nach y und einmal nach x umgestellt?

Ja um den Kreis sichtbar zu machen sollte man nach y umstellen.

Zitat:

Die quadratische Kreisgleichung als Ganzes ist keine Funktion (warum nicht?), sie ist jedoch die implizite Zusammenfassung beider Funktionen (rot, grün).

Ja sie ist keine Funktion mehr weil ich jetzt für jeden x-Wert 2 Funktionswerte erhalte und eine FUnktion ist ja so definiert das jedem x-Wert nur ein y-Wert zugeordnet wird.

2.Nur bin ich jetzt trotzdem nicht schlauer wie ich sie behandeln soll? In der impliziten schreibweise also $\begin{eqnarray*} x²+y²=1 \end{eqnarray*}$ wäre es ja dann eine "Funktion" , also habe ich einen ganzen Kreis?

Zitat:

Es ist eine Parabel, stimmt. Ob die Ungleichung nun das Innere der Parabel beschreibt, wird jetzt aus dem Graphen klar ...

3.Hmm ich dachte immer dass man für y>Funktion den Wert oberhalb der Funktion bekommt, also in dem Fall den Bereich innen und für y<Funktion , die Werte unter der Kurve/Funktion, also alle Werte außerhalb der Parabel.

4. Gibt es noch weitere Gleichungen, die der Kreisgleichung ähneln, bei denen man aufpassen muss?

So, wäre super der Übersicht wegen auf jeden Punkt einzeln einzugehen.

Vielen Dank für Eure Mühe

05.11.2009, 01:01

mYthos

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1.
Explizit: Nach y (abhängig Variable) wird umgestellt!
x ist die unabhängig Variable -> y = f(x)
Und das andere ist richtig beantwortet.

2.
Ja, es ist der ganze Kreis, weil dieser sich aus zwei Halbkreisen, die jeder für sich eine Funktion sind, zusammensetzt.

3.
Richtig.

4.
Ellipse
(Parabel: Z.B. $\begin{eqnarray*} y^2 = ax \end{eqnarray*}$ ; die Wurzel hier hat zwei Vorzeichen: $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt {ax} \end{eqnarray*}$ )

Gute Nacht!

mY+

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