Induktion Ungleichungen

03.11.2009, 19:12

aquaman

Induktion Ungleichungen

Hallo!
Meine Aufgabe lautet:
Für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten folgende Ungleichungen?

$\begin{eqnarray*} 3^{n} < n! \end{eqnarray*}$

Bin dann so angefangen
I.A. $\begin{eqnarray*} n=1 , 3^{1} <1! \end{eqnarray*}$ ---- das ist falsch... egal weiter:
I.S.
Vor: $\begin{eqnarray*} 3^{n} < n! \end{eqnarray*}$
Beh: $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} < (n+1)! \end{eqnarray*}$
Bew: $\begin{eqnarray*} 3^{n}3 < (n+1)n! \end{eqnarray*}$
nach I.V. gilt dann:
$\begin{eqnarray*} (n+1)n! > 3^{n}(n+1)! \end{eqnarray*}$
ich hab dann einfach n>2 bestimmt (darf man das??)
$\begin{eqnarray*} >3^{n} (2+1) = 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

fertig, ist das jetzt richtig so? danke für jede hilfe smile

03.11.2009, 19:16

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Du hast nun gezeigt (mehr oder weniger deutlich), dass dein Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ klappt.

Heißt das jetzt, dass deine Antwort auf die Ausgangsfrage ebenfalls $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ ist? Augenzwinkern

Du solltest den Induktionsanfang nicht unterschätzen...

03.11.2009, 19:17

aquaman

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ja würd ich sagen.
Schöner Schlusssatz:
Es gilt nach dem Induktionsprinzip für alle n >2

Was meinst du mit " ich sollte den Induktionsanfang nicht unterschätzen"?

03.11.2009, 19:31

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Na wenn ich z.B. n=5 einsetze, dann scheint mir

$\begin{eqnarray*} 3^5 = 243 \stackrel{?}{<} 120 = 5! \end{eqnarray*}$

nicht ganz richtig zu sein, nicht wahr? Big Laugh

03.11.2009, 19:33

aquaman

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wie mach ich das denn dann? muss ich jede einzelne zahl einsetzen?

03.11.2009, 19:36

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Zumindest solange, bis du ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ findest, was die Ungleichung erfüllt. Dann erst greift der Induktionsschritt.

Nochmal zur Wurzel allen Übels:

Zitat:

Original von aquaman
I.A. $\begin{eqnarray*} n=1 , 3^{1} <1! \end{eqnarray*}$ ---- das ist falsch... egal weiter

Richtige Erkenntnis, falsche Reaktion.

03.11.2009, 20:04

mathemal

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Wie lange sollte man warten bis man sein Ergebnis posten kann, da mich diese Aufgabe auch interessiert und ich wissen wollte ob meine Lösung so in Ordnung ist.

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