(einfache?) Umformung

03.11.2009, 20:11

bitmonster

(einfache?) Umformung

hallo

Ich muss folgende formel
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d~\frac{b^{i+1}-1}{b-1} \end{eqnarray*}$

in diese form bringen:

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{d+2}-2b-bd+d+1}{(b-1)^2} \end{eqnarray*}$

ich gehe wie folgt vor:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d~\frac{b^{i+1}-1}{b-1} = \frac{1}{b-1}(\sum_{i=0}^d~b^{i+1}-\sum_{i=0}^d~1)=\frac{1}{b-1}(b\sum_{i=0}^d~b^i - \sum_{i=0}^d~1) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}-(d+1))) = \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich schaun dass ich das (d+1) auf den gleichen nenner mit dem anderen term bring (nämlich b-1)
also durch b-1 dividieren und oben wieder mal b-1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1} *(b*(\frac{b^{d+1}-1+db-d+b-1}{b-1})) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1} *(b*(\frac{b^{d+1}-db-d+b-2}{b-1} )) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1} * (\frac{b^{d+2}-db^2-db+b^2-2b}{b-1} )= \end{eqnarray*}$

stimmts bis hier her.. wenn ich das ganze ausmultipliziere komm ich nämlich leider nicht auf die gewünschte formel... :/

04.11.2009, 11:09

bitmonster

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hmm meine vermutung ist dass der schritt wo ich den (d+1) term auf gleichen nenner bring nicht so stimmt oder? aber das kann man doch wohl so machen ... :/

04.11.2009, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von bitmonster
hmm meine vermutung ist dass der schritt wo ich den (d+1) term auf gleichen nenner bring nicht so stimmt oder?

Du vermutest richtig. Du solltest da Schritt für Schritt vorgehen, also erstmal (d+1) mit (b-1) erweitern.

04.11.2009, 12:45

bitmonster

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du meinst...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}*(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}- (d+1)) ) =<br /> \frac{1}{b-1}*(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}-\frac{(d+1)(b-1)}{(b-1)})) \end{eqnarray*}$

naja dann komm ich ja wieder aufs gleiche raus.....

04.11.2009, 13:19

klarsoweit

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Nein, wenn du die Klammern richtig ausmultiplizierst und beim Zusammenfassen der Brüche auf das Vorzeichen achtest.

04.11.2009, 14:03

bitmonster

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äh ja, somit komme ich auf....

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1} *(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}-(\frac{db-d+b-1}{b-1} ) )) =<br /> \frac{1}{b-1} *(b*(\frac{b^{d+1}-1-bd+d-b+1}{b-1})) \end{eqnarray*}$

gut die 1en im zähler fallen weg....
den ausdruck dann mit b multipliziert fällt db - bd auch weg....

somit habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}*(\frac{b^{d+2}-b^2 d}{b-1}) \end{eqnarray*}$

da komm ich auch schon nicht mehr auf die gewünschte formel... :/

04.11.2009, 14:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von bitmonster
den ausdruck dann mit b multipliziert fällt db - bd auch weg....

Hää?

04.11.2009, 17:05

bitmonster

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ah sorry hab mich mit den b's und d's vertan... aber ich habs noch immer nicht.. so simpel es auch ist :/

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}*(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}- (\frac{db-d+b-1}{b-1}))) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}*(b*(\frac{b^{d+1}-1-db+d-b+1}{b-1}))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}*(b*(\frac{b^{d+1}-bd+d-b}{b-1}))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}* \frac{b^{d+2}-b^2 d +bd -b^2}{b-1} = \end{eqnarray*}$

ich komme also noch immer nicht auf die gewünschte endformel:

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{d+2}-2b-bd+d+1}{(b-1)^2} \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 18:25

klarsoweit

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RE: (einfache?) Umformung

Zitat:

Original von bitmonster
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1}(b*(\frac{b^{d+1}-1}{b-1}-(d+1))) = \end{eqnarray*}$

Hier ist der Fehler passiert. Der Faktor b bezieht sich nur auf die erste Summe. Demzufolge muß es so heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-1} \cdot (b \cdot \frac{b^{d+1}-1}{b-1}-(d+1)) \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 21:25

bitmonster

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herzlichen dank smile

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