Fruchtzwerge Tier-alphabet

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fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
Fruchtzwerge Tier-alphabet
Hallo Leute,

Ich benötige mal wieder eure Unterstützung. Ich habe einen kleinen Cousin der ist vollig vernarrt in dieses "Tier-Alphabet-Magnete" das bei den Fruchtzwergepackungen dabei ist, er hat zwar erst ein paar davon. Aber ich dachte mir ich mach ihm vllt. eine Freude und kauf ihm soviele Fruchtzwerge packungen wie nötig sind um das gesamte Alphabet zu haben.

So wollte ich das ganze jedoch erst einmal logisch überlegen.
Mir stellt sich nun die Frage, wieviele Packungen muss ich kaufen um eine Wahrscheinlichkeit die größer als 50% ist zu haben das Gesamte Alphabet zu haben.
Wie teuer wird das also für mich?

Lösungsansatz:



An den Fruchtzwerge packungen kleben immer 2 Tierbuchstaben, um die Rechnung zu vereinfachen probiere ich es zuerst mal mit 1 Tierbuchstaben/Packung.

Wenn ich eine Packung aus dem Regal nehme, legt die Verkäuferin wieder eine neue nach.
Es handelt sich also hier um eine Ziehung bei der ständig neuer Nachschub herrscht.
Deshalb mache ich die Annahme: Ziehung mit zurücklegen.

Jetzt kommt aber eine andere Schwierigkeit hinzu...
Im Regal befinden sich nicht immer je 1 Buchstabe / Sorte sondern es können auch z.B. mehrere A Buchstaben vorhanden sein.

Okay.. Problem, ich weis nicht weiter ....
Ist das ganze Hypergeometrisch verteilt. Oder welche annahmen sollte ich treffen das ein anständiges Ergebnis rauskommen kann? (mit anständiges Ergebnis meine ich, das ist ein realitätsähnliches Ergebnis ist.)

Danke für eure Hilfe...

bin für jeden Kommentar der mich weiterbringt dankbar.


gruß fraggelfragger

//edit Rechtschreibung
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Berechnen wird schwierig, vor allem in den von dir angedeuteten komplexeren Situationen. Aber vielleicht gibt dir dieser vom Thema her sehr ähnliche Thread

Würfel, Erwartungswert, alle Zahlen zweimal

die Inspiration, es mal mit Simulation zu versuchen. Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Wenn du von einer Binomialverteilung ausgehst (Ziehen mit Zurücklegen), was hier naheliegend ist, weil dein Reservoir ja unerschöpflich ist und wir zudem annehmen, dass die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Buchstaben jeweils gleich sind, musst du die einzelnen Versuchsanzahlen bis zum Ziehen des nächsten neuen Buchstabens (der also noch nicht in der jeweils aktuellen Sammlung ist) jeweils addieren.

Dies ergibt sich daraus, dass die Anzahl der jeweiligen Versuche, bis du einen neuen Buchstaben gezogen hast, ja geometrisch verteilt ist. Der jeweilige Erwartungswert dazu ist der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit, also:



Grüße Abakus smile

edit: wenn die Wahrscheinlichkeiten für die Ziehung der einzelnen Buchstaben nicht gleich sein sollen, brauchst du diese natürlich erstmal, um etwas sagen zu können
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Abakus

Es geht hier aber nicht um den Erwartungswert, sondern um

Zitat:
Original von fraggelfragger
wieviele Packungen muss ich kaufen um eine Wahrscheinlichkeit die größer als 50% ist zu haben das Gesamte Alphabet zu haben.

Aber der EW ist erstmal ein guter Anhaltspunkt für die Größenordnung der Lösungsanzahl.

EDIT: Tatsächlich wird bereits bei 94 Packungen die 50% überschritten. In Bezug zum Erwartungswert 100.2 handelt sich hier also um eine rechtsschiefe Verteilung, nicht ganz überraschend. Augenzwinkern
Lord ... Auf diesen Beitrag antworten »

Geht man von Ziehen mit Zurücklegen und einer Gleichverteilung(also einem Laplaceraum) aus, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dass man alle 26 Buchstaben nach n Packungen gezogen hat:



oder allgemeiner:
Zieht man n Buchstaben mit Zurücklegen aus einer Urne mit m verschiedenen Buchstaben, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass man x (natürlich x<m) verschiedene Buchstaben gezogen hat:




Lass einfach mal deinen Computer rechnen Augenzwinkern
Lord ... Auf diesen Beitrag antworten »

Uuups.

Edit meint:

In der ersten Formel sollte man x durch 26 ersetzen





sollte eigentlich


heißen.


Tschuldigung.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lord ...
Lass einfach mal deinen Computer rechnen Augenzwinkern

Hast du das mal versucht - sagen wir mal für x=26 und n=100 ? Augenzwinkern

Nicht jede theoretisch richtige Formel (hab ich jetzt nicht nachgerechnet, ich nehme es mal an) ist auch computertechnisch machbar: Die Anzahl der Summanden wird schnell exorbitant, und damit in der praktischen Rechnung unbrauchbar.
Lord ... Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes wollt ich die Formel korrigieren.

Die Wahrscheinlichkeit, dass man nach n Packungen alle 26 Buchstaben hat beträgt:





und du hast recht, dass dauert. Villeicht fällt ja jemandem eine Umformung oder Vereinfachung ein.

P.S. ich sollte mich dochmal Registrieren, zwecks Edits *hust* *tschuldigung*
Löscht bitte die beiden oberen Posts von mir Hammer
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@Abakus

Es geht hier aber nicht um den Erwartungswert, sondern um

Zitat:
Original von fraggelfragger
wieviele Packungen muss ich kaufen um eine Wahrscheinlichkeit die größer als 50% ist zu haben das Gesamte Alphabet zu haben.

Aber der EW ist erstmal ein guter Anhaltspunkt für die Größenordnung der Lösungsanzahl.

EDIT: Tatsächlich wird bereits bei 94 Packungen die 50% überschritten. In Bezug zum Erwartungswert 100.2 handelt sich hier also um eine rechtsschiefe Verteilung, nicht ganz überraschend. Augenzwinkern


Ich dachte fest, hier entspricht sich beides, ok.


@ Lord: wie kommt deine Formel zustande und was besagt die? Das mit dem Registrieren find ich gut Augenzwinkern . Beide Posts gelöscht.

Grüße Abakus smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Arhur hat leider nicht angegeben, wie er die 94 berechnet hat. Recht einfach erledigt ein Programm das mit einer Rekursionsformel. Sei die Wahrscheinlichkeit, nach n Ziehungen genau m verschiedene Buchstaben zu haben. Dann gilt:



Dabei ist gesetzt und als Anfangswerte und benutzt
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist gerade Vorhin eine einfache Iterative Berechnungsmöglichkeit eingefallen (obige Formel von mir vergessen wir also ganz schnell wieder Augenzwinkern )


Sei die Zufallsvariable, die angibt wieviele i-Buchstaben man gezogen hat.

Wobei 1=A, 2=B, ... , 26=Z.


Dann ist nach gefragt, wobei z für die Anzahl der Ziehungen steht.


Da die identisch verteilt sind, folgt nun mit der Ein- / Ausschlussformel, dass




Geht man nun davon aus, dass die Binomial-verteilt sind, also Ziehen mit Zurücklegen vorliegt, dann gilt:




Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass man nach z Ziehungen alle Buchstaben hat:





Edit: Geht man nun davon aus, dass in jeder Packung 2 Buchstaben sind, so ersetzt man in der Formel z durch 2z, wobei z nun den gekauften Packungen entspricht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Arhur hat leider nicht angegeben, wie er die 94 berechnet hat.

Dann hole ich das mal nach:

Mit brachialer Simulationsgewalt. Was den Vorteil hat, dass viele andere Fragestellungen in dem Problemzusammenhang durch leichte Änderungen des Simulationscodes in Angriff genommen werden können.


Aber deine Berechnungsidee ist natürlich top. Freude

EDIT: Natürlich ist auch die Berechnung von Lord Pünktchen hervorragend - endlich mal eine Verstärkung für die Siebformelfraktion. Big Laugh
Ich gehe mich inzwischen mal eine Runde Schämen... Nein im Ernst, ich wollte sowieso mal mein Simulationsgerüst aufpolieren, und hab da ein bisschen in die effiziente Multithreading-Nutzung investiert, damit ich künftig mit 4 x 2,8 GHz Gas geben kann. Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

@ Lord: Ja, das klappt gut so Augenzwinkern .

Eine andere Möglichkeit wäre per Markow-Kette mit 27 Zuständen. Deine Formel ist aber einfacher zu tippen als eine (27 x 27)-Matrix mit den Übergangswahrscheinlichkeiten auszufüllen.

Grüße Abakus smile
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedanke mich für eure zahlreichen Antworten.

Ich habe die Formel mal in meinen Taschenrechner eingegeben, der kann die Formel leider nicht berechnen... und Matlab oder sonstiges hab ich selbst auf meinem Rechner momentan leider nicht installiert.


Ich glaub euch einfach mal die n=94. (Für wenn 1 Tiermagnet /Packung).

Könnte jemand noch berechnen wie die Anzahl der Packungen wäre um eine Wahrsch. höher als 50% zu haben. Wenn man 2 Tiermagnete/packung bekommt?

Der reale Wert weicht davon (bisher) doch etwas ab. Ich hab meinem kleinen Cousin nun 18 Packungen gekauft, es fehlen allerdings nun noch 6 Buchstaben.
Das Alphabet hat er also nun "fast" doppelt (hin und wieder meherer vom selben Buchstaben). Nun war ich auf der Internetseite von Fruchtzwerge die haben die restlichen 6Tiere erst später herrausgegeben.
Das bedeutet die sind nun erst in der neusten Lieferung dabei.

bin echt sehr gespannt, bei wieviel er dann das Alphabet komplett hat Big Laugh
Eines ist sicher, bei Ebay hätte ich die Teile billiger bekommen. Aber dann hätte mein cousin ja nicht Vitamine und Calcium extra bekommen. Und ich nicht mehr wissenschaftliches Experiment Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
Könnte jemand noch berechnen wie die Anzahl der Packungen wäre um eine Wahrsch. höher als 50% zu haben. Wenn man 2 Tiermagnete/packung bekommt?

Das wurde oben schon mal berechnet: 94 Einzelmagnete = 47 Doppelpackungen
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