Differentialgleichung!! Wärmeleitung

04.11.2009, 00:16

spudx

Differentialgleichung!! Wärmeleitung

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser DGl:

$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}T} {dr^{2}} + \frac {1} {r} \frac {dT} {dr} = 0 \end{eqnarray*}$

Mein Versuch diese Aufgabe zu lösen, sieht folgender maßen aus:

erste Integration:

$\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} + ln r + C_{1} = 0 \end{eqnarray*}$

dann noch einmal über r integriert:

$\begin{eqnarray*} T(r) = - r ln r + r - C_{1} r + C_{2} \end{eqnarray*}$
( der Integral von ln r -> rlnr - r +C)
Ist der Weg so korrekt??

(ich habe die Aufgabe ist aus der Thermodynamik (Wärmeleitung in einem Rohr), mit dem Randbedingungen:
$\begin{eqnarray*} r = r_{i} -> T = T_{W,i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = r_{a} -> T = T_{W,a} \end{eqnarray*}$ )

Die Lösung hier in dem Heft ist:

$\begin{eqnarray*} T(r) = C_{1} ln r + C_{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommen die hier auf diese Lösung??

Vielen Dank

Gruß spudx

04.11.2009, 09:16

Ehos

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Die von dir zu lösende Gleichung besagt, dass der radiale Anteil des Laplaceoperators in Zylinderkoordinaten verschwinden soll. Bezüglich der Wärmeleitungsgleichung bedeutet dies, dass wir ein unendlich langes Rohr um die z-Achse haben, in dem eine rotationssymmetrische und von der Rohrlängen-Koordinaten z unabhängige Temperaturverteilung vorhanden ist. Gesucht ist also nur noch die radiale Temeraturverteilung T(r) innerhalb des Rohres. Wenn keine "Wärmequellen" im Rohr vorhanden sind, lautet die Wärmeleitungsgleichung:

$\begin{eqnarray*} T''(r)+\frac {1} {r} \cdot T'(r)=0 \end{eqnarray*}$

Schreibe dafür einfach

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {r} (r \cdot T')'=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} r \cdot T'=C_1 \end{eqnarray*}$ eine Konstante sein muss. Division durch r und Integrartion ergibt also

$\begin{eqnarray*} T(r)=C_1 \cdot ln(r)+C_2 \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 09:38

spudx

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ist das eine Umschreiben der Produktregel "rückwärts"??

Zitat:

Original von Ehos

$\begin{eqnarray*} T''(r)+\frac {1} {r} \cdot T'(r)=0 \end{eqnarray*}$

Schreibe dafür einfach

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {r} (r \cdot T')'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \cdot T'=C_1 \end{eqnarray*}$ muss eine Konstante sein, da das Ergebnis null ist und die Ableitung einer Konstanten 0 ergibt. Das unbestimmte Integral führt mich dann zu der Lösung. richtig? nur zum Verständnis.

Zitat:

Original von Ehos

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} r \cdot T'=C_1 \end{eqnarray*}$ eine Konstante sein muss. Division durch r und Integrartion ergibt also

$\begin{eqnarray*} T(r)=C_1 \cdot ln(r)+C_2 \end{eqnarray*}$

Ist denn mein Ansatz im ersten Eintrag falsch? Oder komme ich auch so auf das gleiche Ergebnis?

04.11.2009, 11:06

Lord ...

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Diffgl. - Wärmeleitung
Dein Ansatz ist nicht verkehrt.
Aber du hast falsch integriert.

Ausgangsgleichung ist:
$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}T} {dr^{2}} + \frac {1} {r} \frac {dT} {dr} = 0 \end{eqnarray*}$
Multipliziert man mit r, so erhält man:
$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}T} {dr^[2}} \cdot r + \frac {dT} {dr} = 0 \end{eqnarray*}$

Integrieren (Produktregel der Integration beachten) ergibt nun:
$\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} \cdot r + T - T + C_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => \frac {dT} {dr} \cdot r = C_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => \frac {dT} {dr} = \frac {C_1} {r} \end{eqnarray*}$

erneutes integrieren ergibt das gewünschte Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} T(r) = {C_1} \cdot ln(r) + C_2 \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 19:08

spudx

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RE: Diffgl. - Wärmeleitung
kann ich soweit nachvolliehen bis auf eine Schritt, und zwar die Integration mit der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2} T} {dr^{2}} \cdot r + \frac {dT} {dr} = 0 \end{eqnarray*}$

Integrieren (Produktregel der Integration beachten) ergibt nun:
$\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} \cdot r + T - T + C_1 = 0 \end{eqnarray*}$

wie ist dieser Schritt?

das ist die Formel:
$\begin{eqnarray*} \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} u = r \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} u' = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = \frac {d^{2}T} {dr^{2}} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} v = \frac {dT} {dr} \end{eqnarray*}$

oder ist das schon falsch?

und dann eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} r \cdot \frac {dT} {dr} - \int 1 \cdot \frac {dT} {dr} dr = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \cdot \frac {dT} {dr} - \int 1 \cdot dT = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \cdot \frac {dT} {dr} - T + C_{1} = 0 \end{eqnarray*}$

in der Gleichung von Lord ... ist da noch ein "T", wo kommt das her??

Danke

04.11.2009, 19:26

Lord ...

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RE: Diffgl. - Wärmeleitung
Deine Rechnung ist vollkommen richtig.

Du hast nur vergessen $\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} \end{eqnarray*}$ mitzuintegrieren.

Es ist also nach besagter Formel:

$\begin{eqnarray*} \int r \cdot \frac {d^{2}T} {dr^{2}} dr + \int \frac {dT} {dr} dr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = r \cdot \frac {dT} {dr} - \int 1 \cdot \frac {dT} {dr} dr + T \end{eqnarray*}$

Das T am Ende hast du anscheinend übersehen.

04.11.2009, 22:51

spudx

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d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} = T ?? \end{eqnarray*}$

fehlt mir irgendwie das Verständnis, oder ich steh grad auf dem Schlauch, wahrscheinlich ganz einfach verwirrt

05.11.2009, 14:47

Lord Pünktchen

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Ok, nochmal ausführlich =)

$\begin{eqnarray*} r \cdot \frac{d^{2}T}{dr^{2}} + \frac{dT} {dr} = 0 \end{eqnarray*}$

integriert man das, so haben wir:

$\begin{eqnarray*} \int r \cdot \frac{d^{2}T}{dr^{2}}dr + \int \frac{dT} {dr}dr = \int 0 dr \end{eqnarray*}$

Mit der Produktformel $\begin{eqnarray*} \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} u' = \frac {d^{2}T} {dr^{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = r \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} u = \frac {dT} {dr} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$

Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} r \cdot \frac{dT} {dr} - \int 1 \cdot \frac{dT} {dr}dr + \int \frac{dT} {dr}dr = \int 0 dr \end{eqnarray*}$

Das Integral von dT/dr ist natürlich T.

Damit haben wir: $\begin{eqnarray*} r \cdot \frac{dT} {dr} - T + T = C_1 \end{eqnarray*}$

Somit folgt: $\begin{eqnarray*} \frac {dT} {dr} = \frac {C_1} {r} \end{eqnarray*}$

und damit haben wir mit erneuter Integration: $\begin{eqnarray*} T = C_1 \cdot ln(r) + C_2 \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 23:36

spudx

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Vielen Dank,

jetzt habe ich es auch verstanden :-)

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