noch ein Integralproblem

04.11.2009, 11:16

sunmysky

noch ein Integralproblem

Mein Integral heißt

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{a^2cos^2x+b^2sin^2x}dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ und ungleich 0.

Hier hab ich nicht mal nen Ansatz... Habt ihr vielleicht ne Idee???

04.11.2009, 11:44

klarsoweit

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RE: noch ein Integralproblem
Klammere im Nenner cos²(x) aus und substituiere u = tan(x). smile

04.11.2009, 11:45

baphomet

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RE: noch ein Integralproblem
Das a^2+b^2 weißt daraufhin, das die Stammfunktion eine Form des Arcustangens ist, dabei muß man
nun geschickt Subtitution und Umformungen anwenden

04.11.2009, 12:27

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem

Zitat:

Original von klarsoweit
Klammere im Nenner cos²(x) aus und substituiere u = tan(x). smile

WOW!!! Das versuch ich gleich. Mal sehen, was raus kommt...

Dankeschön auch an baphomet. Gibt es eine Übersicht, in der diese Hinweise für einige Fkt. zu finden sind??? Das würde mich ja mal interessieren...

LG

04.11.2009, 13:25

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Ja,nee. Ich komm nicht weiter!!!
Hab $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und bekomme
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{cos^2(x) \cdot (a^2+b^2\cdot(\frac{1}{cos^2(x)}-1))} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} t = tan(x) =\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ setze, weiß ich nicht weiter... Man Tränen

04.11.2009, 13:32

klarsoweit

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RE: noch ein Integralproblem

Zitat:

Original von sunmysky
Ja,nee. Ich komm nicht weiter!!!
Hab $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und bekomme
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{cos^2(x) \cdot (a^2+b^2\cdot(\frac{1}{cos^2(x)}-1))} \end{eqnarray*}$

Ich hatte auch eigentlich sowas erwartet:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{cos^2(x) \cdot (a^2 + b^2 \cdot \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)})} \end{eqnarray*}$

Und jetzt solltest du auch den tan(x) finden. Augenzwinkern

04.11.2009, 13:48

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Hihi, siehst du, wie gut du mich schon kennst Augenzwinkern

Naja, dann wäre $\begin{eqnarray*} \frac{sin^2x}{cos^2} \end{eqnarray*}$ substituiert $\begin{eqnarray*} tan^2(x) \end{eqnarray*}$ .
Aber was mach ich mit dem $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ am Anfang...

04.11.2009, 14:11

klarsoweit

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RE: noch ein Integralproblem
Wenn du u = tan(x) setzst, dann solltest du mal schauen, was "du" ist.

04.11.2009, 14:26

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Naja $\begin{eqnarray*} dt=\frac{1}{cos^2(x)}dx \end{eqnarray*}$ , was ja dann

$\begin{eqnarray*} \int\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)\cdot(a^2+b^2\cdot t^2)}=\int\frac{1}{a^2+b^2t^2} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Stimmt,oder? Und dann??? Ich steh auf dem Schlauch!!!

04.11.2009, 14:54

klarsoweit

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RE: noch ein Integralproblem
Bitte immer auch die Integrationsvariable angeben:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)\cdot(a^2+b^2\cdot t^2)}~dt = \int\frac{1}{a^2+b^2t^2}~dt \end{eqnarray*}$

Sonst ok. smile

04.11.2009, 14:57

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Okay,stimmt.Hab ich vergessen... Aber wie komm ich jetzt weiter??? Nochmal substituieren bringt mir irgendwas komisches...Ich stell mich heute auch wieder an...Manoman

04.11.2009, 15:07

klarsoweit

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RE: noch ein Integralproblem
Setze t = (a/b) * u.

04.11.2009, 15:34

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Alles klar. Hier bin ich raus!

04.11.2009, 15:46

sunmysky

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RE: noch ein Integralproblem
Vielleicht doch noch nicht.
Nach meiner schlauen Formelsammlung ist $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{a^2+x^2}= \frac{1}{a}tan^{-1}\frac{x}{a} \end{eqnarray*}$

Mmh, wie krieg ich da jetzt b unter???
Ist ja nur ein Faktor...

Könnte das stimmen???
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{a^2+b^2x^2}= \frac{1}{ab}tan^{-1}\frac{btan(x)}{a} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, WIE in allerWelt kommt man denn auf so etwas ohne Formelsammlung??? verwirrt

04.11.2009, 16:07

Julian@mb

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Durch Ableiten von arctan. Warum liest du die Beiträge nicht? Siehe klarsoweits letzten Post.

04.11.2009, 16:14

sunmysky

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Hey,hey. Ich hab den Beitrag gelesen, aber leider(!!!) kann ich nix mit anfangen. klarsoweit hat mir bis hierher super geholfen und dafür bin ich ihm/ihr sehr dankbar! Aber seinen/ihren letzten Hinweis kann ich nicht nachvollziehen.
Muss ich nochmals substituieren???

04.11.2009, 17:27

klarsoweit

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Ja, genau so, wie ich angegeben habe.

05.11.2009, 08:41

sunmysky

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Re
Ich habs tatsächlich raus!!!
Jetzt hab ich auch deinen letzten Hinweis verstanden klarsoweit.
Danke,danke,danke!!!

$\begin{eqnarray*} t=\frac{a}{b}\cdot u; dt=\frac{a}{b}\cdot du \end{eqnarray*}$

ergibt $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{a^2+b^2(\frac{a}{b}u)^{2}}\cdot\frac{a}{b}du=\int\frac{1}{a(1+u^2)}\cdot\frac{1}{b}du=\frac{1}{ab}\cdot arctan(u) \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} t=\frac{a}{b}\cdot u \end{eqnarray*}$ und anschließend t=tanx einsetzen und es kommt tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab}arctan(tan(\frac{bx}{a})) \end{eqnarray*}$ raus. Ich bin begeistert!!! smile

Danke klarsoweit, ohne dich hätte ich das nicht geschafft. Und entschuldige bitte, dass ich zwischenzeitlich schon aufgeben wollte.
LG sunmysky

05.11.2009, 10:12

klarsoweit

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RE: Re

Zitat:

Original von sunmysky
und es kommt tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab}arctan(tan(\frac{bx}{a})) \end{eqnarray*}$ raus.

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab}arctan(\frac b a tan(x)) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.11.2009, 10:13

sunmysky

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RE: Re
Big Laugh