Riemannsche Zetafunktion meromorph

04.11.2009, 14:36	heinzelotto	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsche Zetafunktion meromorph Hi, ich habe gerade auf Wikipedia die Definition einer meromorphen Funktion gelesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Meromorphe_Funktion , also eine Funktion, die nur voneinander isolierte Polstellen ( $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ max. abzaehlbar viele) in der komplexen Ebene besitzt. Nun ist ja auch die riemannsche Zetafunktion eine solche meromorphe Funktion, und es ist angegeben, dass sich jede meromorphe Funktion als Quotient zweier holomorpher Funktionen darstellen laesst. Die Frage, die man sich darauf natuerlich stellt, ist: Wie laesst sich die Riemannsche Zetafunktion als Quotient zweier holomorpher Funktionen darstellen? Es steht auch dort, dass $\begin{eqnarray} \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s) = 1 \end{eqnarray}$ . Mache ich also einfach $\begin{eqnarray} \zeta(s) = \dfrac{(s-1)\zeta(s)}{s-1} \end{eqnarray}$ ? Da sollten Zaehler und Nenner dann ja holomorphe Funktionen sein, wenn ich das richtig aus dem Wikipedia-artikel ueber holomorphe Funktionen verstanden habe. Wenn das so gedacht ist, dann faende ich es allerdings schade, denn ich dachte, dass man anhand der Nullstellen des Zaehlers des Quotienten Aufschluss ueber die Nullstellen der gesamten Zeta-Funktion bekommen kann. Wenn der Zaehler allerdings selbst wieder nur die Zeta-Funktion (mit einem Vorfaktor) ist, dann ist das ja aber etwas witzlos... Viele Gruesse (von einem amerikanischen Tastaturlayout aus), Heinzelotto
04.11.2009, 19:55	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemannsche Zetafunktion meromorph Mir ist nicht bekannt dass man eine meromorphe Funktion global als Quotient zweier holomorphen Funktionen schreiben kann. Aber lokal geht das sicher, mit der Definition einer Polstelle: $\begin{eqnarray} (s-1)\zeta(s) \end{eqnarray}$ ist sicher holomorph in einer Kreisscheibe um 1.
04.11.2009, 20:00	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemannsche Zetafunktion meromorph $\begin{eqnarray} (s-1)\zeta(s) \end{eqnarray}$ ist sogar eine sog. ganze Funktion, ist also sicher nicht nur "lokal" holomorph...
07.11.2009, 01:47	heinzelotto	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten, die Information, dass sich eine solche Funktion als Quotient zweier holomorpher Funktionen darstellen lässt, habe ich aus der englischen Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function (2. Absatz). Ich glaube, ich werde mir nächstes Semester einfach mal die Funktionentheorie-Vorlesung anhören

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