GEOmetrische Summenformel beweisen

04.11.2009, 16:04

sin(x²)= 99

GEOmetrische Summenformel beweisen

Kann mir einer erklären wie ich Sn:= 1- q^(n+1) / (1-q)

mittels vollständiger Induktion beweise?? Ich weiß ab der Induktionsvoraussetzung nicht mehr weiter unglücklich

04.11.2009, 16:25

Zizou66

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Kannst du denn die Induktionsvoraussetzung bennen?

04.11.2009, 16:28

astfdk

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Wo ist denn der Fehler genau, ansonsten ist es schwer dir zu helfen.

04.11.2009, 16:30

sin(x²)= 99

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Induktionsvoraussetzung:

Summe von q^i von i = 0 bis n = (1-q^(n+1) / (1-q))

04.11.2009, 16:36

astfdk

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Ja, und WO ist jetzt dein Problem? Schreib doch mal deine bisherige Rechnung auf.

04.11.2009, 16:40

sin(x²)= 99

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Also ich bin soweit schon:

Summe von q^i von i = 0 bis n+1 = Summe von q^i von i = 0 bis n + (q^n+1)

Und wie solls jezz weitergehen?

04.11.2009, 16:56

Zizou66

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Bitte benutze den Formeleditor. Ich kann so nicht erkennen, was du meinst.

code:
1:	\sum_{i=0}^n~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Gibt die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Mit einfachen Veränderungen davon solltest du eigentlich alles darstellen können.

04.11.2009, 17:01

sin(x²)= 99

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\sum_{i=0}^n~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
Klappt irgendwie nicht

04.11.2009, 17:06

sin(x²)= 99

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ich muss das erstmal üben, also Die Summe von

q^i von i = 0 bis n+1

=

Summe q^i von i = 0 bis n

+

q^(n+1)

Was muss ich jetzt machen?

04.11.2009, 17:12

Zizou66

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Du musst schon noch die Latex Tags um den Code setzen:

code:
1:	[latex]\sum_{i=0}^n~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/latex]

Es scheint nicht, dass du dich schon mit dem Formeleditor beschäftigt hast. Das ist für das Verständnis deiner Ausführungen aber sehr wichtig.

04.11.2009, 17:37

sin(x²)= 99

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~q^i = \sum_{i=0}^n~q^i + q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Puh geschafft^^

Also soweit bin ich schon bei der vollständigen Induktion...aber nun weiß ich nicht mehr weiter..

04.11.2009, 17:41

Zizou66

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Wenn du eine vollständige Induktion machen willst, muss du zuerst mal einen Induktionsanfang haben. Hierzu bietet sich n=0, aber auch n=1 an. Hast du das bereits überprüft?

Wenn wir dann beim Induktionsschritt sind, schreibst du zuerst mal auf, was du jetzt machst. Welche Gleichheit willst du denn zeigen?
Dein erster Schritt war schon ganz richtig, aber wenn du nicht hinschreibst, was gleich zu dem sein soll, kannst du nichts beweisen.

04.11.2009, 17:49

sin(x²)= 99

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Den Induktionanfang hab ich schon überprüft von n = 0 bis n = 2 ist ja alles ok, die formel scheint zu funktionieren..

also $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

will es ja nutzen um das Ergebnis der ersten n Summen zu berechnen.

Die Induktionsvoraussetzung ist ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n~q^{i} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 17:51

Zizou66

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Gut dann machen wir jetzt beim Induktionsschluss mit $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ weiter. Zeig mal, was du nun machst.

04.11.2009, 17:53

sin(x²)= 99

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~q^i = \sum_{i=0}^n~q^i + q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist mein nächster Schritt, ich ziehe das letzte Element aus meiner ersten Summe heraus und addiere es mit der zweiten Summe....aber dann weiß ich nicht mehr weiter...hmmmm

04.11.2009, 18:02

Zizou66

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Nein, das ist nicht der erste Schritt! Du musst doch eine Gleichung beweisen.

So sieht der Induktionsschluss aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~q^k=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du so wie oben getan weitermachen.

04.11.2009, 18:06

sin(x²)= 99

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und nachdem indunktionsschluss?? wie gehts dann weiter?

04.11.2009, 19:09

Q-fLaDeN

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Nach dem Induktionschluss ist Schluss Augenzwinkern

04.11.2009, 19:21

sin(x²)= 99

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hääää, ich meinte den Induktionsschritt... wie muss man da vorgehen?? das ist meine frage, ich ersetze alle n durch n+1 und dann??? was muss ich dann machen und was rechnen?? und mit was dann vergleichen?

04.11.2009, 19:34

Q-fLaDeN

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Ok, also mal Schritt für Schritt.

Zu beweisen ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n~q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

1. Induktionsanfang

n = 1:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1+q = 1+q \end{eqnarray*}$

2. Induktionsvorraussetzung:

Es gelte $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n~q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

3. Induktionsschluss: ( $\begin{eqnarray*} n \to n+1 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^{n+1}~q^{i} =\sum_{i = 0}^{n}~q^{i}+q^{n+1} \stackrel{IV}{=}\dots \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 19:39

sin(x²)= 99

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Danke für die Erklärung...aber hier hast du ja nur die n durch n+1 ersetzt und sonst nichts gemacht?

Soll ich die Pünktchen jetzt füllen?

04.11.2009, 19:53

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von sin(x²)= 99
Danke für die Erklärung...aber hier hast du ja nur die n durch n+1 ersetzt und sonst nichts gemacht?

Ja, das macht man eben beim Induktionsschluss. Und natürlich ist man damit noch nicht fertig. Die Pünktchen sollst DU füllen, wir geben hier ja keine Musterlösungen raus.

04.11.2009, 20:00

sin(x²)= 99

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^{i} + q^{n+1} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+2} }{q-1} - \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$

hab die beiden Summanden nun addiert, und was folgt nun?

was muss ich jezz genau vergleichen?

04.11.2009, 20:26

Q-fLaDeN

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Um das mal zu vervollständigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^{n+1}~q^{i} =\sum_{i = 0}^{n}~q^{i}+q^{n+1} \stackrel{IV}{=}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q} = \frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Und das ist doch genau das, was du haben möchtest. Denn es muss ja gelten

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 0}^n~q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \Rightarrow \sum_{i = 0}^{n+1}~q^i = \frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 20:41

sin(x²)= 99

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$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

ist das das Gleiche????

04.11.2009, 21:25

Q-fLaDeN

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Zeigst du denn kein bisschen Eigenleistung? Also ich bin mir sicher, dass du dein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{1}{q-1} \end{eqnarray*}$

vereinfachen kannst und dann selbst sagen kannst, ob das das gleiche ist oder nicht.

04.11.2009, 21:27

sin(x²)= 99

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Ja das ist das Gleiche...vereinfache du mir das doch mal^^

also man kann doch sagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Und wieso dürfen hier die Differenzen vertauschen?

04.11.2009, 22:04

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von sin(x²)= 99
Ja das ist das Gleiche...vereinfache du mir das doch mal^^

...ich kann das schon vereinfachen, wozu sollte ich das also tun?

Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b} \end{eqnarray*}$

Wie kannst du denn sagen, dass das gleich ist, ohne es sicher zu wissen?

Zitat:

Original von sin(x²)= 99
also man kann doch sagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit??
Ich hab das Gefühl, du verstehst das Prinzip der Vollständigen Induktion nicht. Les hier nochmal nach: http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Zitat:

Original von sin(x²)= 99
Und wieso dürfen hier die Differenzen vertauschen?

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{c-d} = \frac{-(b-a)}{-(d-c)} = \frac{b-a}{d-c} \end{eqnarray*}$

04.11.2009, 22:06

sin(x²)= 99

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Ich bin mir sicher weil ich DERIVE 6 installiert habe..^^

ja das ist doch die Differenz halt, nur mit einem Nenner

04.11.2009, 22:25

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von sin(x²)= 99
Ich bin mir sicher weil ich DERIVE 6 installiert habe..^^

Du solltest dir ernsthafte Gedanken machen, wenn du solche Aufgaben mit Derive lösen musst...

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