Gruppentafel für Gruppe der Ordnung 6

04.11.2009, 16:31

MasterOfTheNumbers

Gruppentafel für Gruppe der Ordnung 6

Hallo !
Ich bin letztens bei Wikipedia auf die Liste kleiner Gruppen gestoßen und dort steht, dass es genau 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt, nämlich die Zyklische und die S_3.
Die Zyklische Gruppe hat ja 2 Elemente der Ordnung 6, zwei der Ordnung 3 und jeweils eins der Ordnungen 2 und 1.
Die S_3 hat 2 Elemente der Ordnung 3, drei der Ordnung 2 und eins der Ordnung 1.

Ich hab mich dann gefragt, ob es nicht auch eine Gruppe der Ordnung 6 geben kann, bei der neben dem neutralen Element, alle Elemente der Ordnung 2 sind (also ähnlich wie bei der Kleinschen Vierergruppe).

In einer solchen Gruppe G muss dann ja $\begin{eqnarray*} g^2=e \; \forall g \in G \end{eqnarray*}$ gelten, dementsprechend habe ich probiert eine Verknüpfungstafel zu basteln:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|cccccc} & e & a & b & c & d & f\\ \hline e & e & a & b & c & d & f\\ a & a & e & c & d & f & b\\ b & b & c & e & f & a & d\\ c & c & d & f & e & b & a\\ d & d & f & a & b & e & c\\ f & f & b & d & a & c & e \end{array} \end{eqnarray*}$

Was mich jetzt wundert ist, dass sich tatsächlich eine Verküpfungstafel für die gewünschte Gruppe konstruieren lässt, ich sehe aber noch nicht ganz was ich falsch gemacht habe, denn wie man weiß gibt es eine solche Gruppe ja nicht (oder doch ?!) In keiner Zeile und Spalte kommt ein Element doppelt vor, sonst muss man soweit ich weiß auf nichts weiteres achten oder ?

04.11.2009, 19:38

Elvis

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Die Tafel ist nicht leicht zu lesen (!) und nicht assoziativ wegen (ab)c=cc=e, a(bc)=af=b, also keine Gruppe.

04.11.2009, 20:12

Mystic

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Eine Gruppe, in der alle Elemente selbstinvers sind, wäre ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ , nach Wahl einer Basis und mit Hilfe einer Basisdarstellung aller Elemente würde man sofort sehen, dass für eine endliche Gruppe die Anzahl ihrer Elemente dann eine Potenz von 2 sein muss, was ja hier wohl nicht zutrifft... Augenzwinkern

04.11.2009, 20:23

TommyAngelo

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Wie beweist man, dass es genau 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt?

04.11.2009, 20:37

Mystic

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Zitat:

Original von TommyAngelo
Wie beweist man, dass es genau 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt?

Es können nicht alle Elemente selbstinvers sein (s.o.), daher muss es ein Element a der Ordnung 3 geben. Sei dann

$\begin{eqnarray*} N:=\{e,a,a^2\} \end{eqnarray*}$

und b ein weiterers Element mit $\begin{eqnarray*} b \not \in N \end{eqnarray*}$ und ord(b)=2. (In einer Gruppe gerader Ordnung muss es außer e noch weitere selbstinverse Elemente geben!)

Nachdem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Untergruppe vom Index 2 Normalteiler sein muss, gilt jedenfalls

$\begin{eqnarray*} bNb^{-1} \subseteq N \end{eqnarray*}$

d.h. wie haben nur die 2 Möglichkeiten

$\begin{eqnarray*} bab^{-1} = a \text{ oder } bab^{-1} = a^2 \end{eqnarray*}$

welche beide die Gruppenoperation dann vollkommen festlegen...

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