Betrag von Basen?

04.11.2009, 16:39	Bombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag von Basen? Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über einem Körper K und U ein UNterraum von V. Weiter seien W1 und W2 Komplemente von Uin V mit Basen B1 und B2. Beweisen Sie, dass \|B1\|=\|B2\|. Ich kann mir überhaupt nicht erklären was der Betrag einer Basis sein soll und was sind überhaupt Komplemente? Hoffe einer von euch kann mir einen Lösungsvorschlag bieten Ich verzweifel an der Aufgabe Danke schonmal!
04.11.2009, 18:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Betrag einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums ist einfach nur die Anzahl der Basisvektoren, sprich die Dimension des Vektorraums. W ist genau dann ein Komplement von U in V, wenn $\begin{eqnarray} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U+W=V \end{eqnarray}$ gilt.
04.11.2009, 18:58	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Definition ist doch \|B1\| = dim(W1) oder? Und da W1 und W2 beide das Komplement von U sind haben auch beide die selbe Dimension. Daraus folgt doch automatisch, da dim(W1)=dim(W2) dass \|B1\|=\|B2\|, oder?
04.11.2009, 19:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nicht das Komplement von U. Nehme z.b. eine Ursprungsgerade g im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist jede andere Ursprungsgerade h ein Komplement zu g im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ .
04.11.2009, 21:03	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann hab ich wohl was missverstanden. Dachte das Komplement ist sowas wie U ohne W (quasi wie die Differenz in der Mengenlehre, bloß für Vektorräume). Wie komme ich denn nun darauf, dass alle Komplemente die selbe Dimension haben? Oder ist das der falsche Ansatz?
04.11.2009, 21:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine leicht einzusehende und auch relativ leicht zu beweisende Gleichung die da besagt: Wenn W ein Komplent von U in V ist, gilt $\begin{eqnarray} \dim U + \dim W = \dim V \end{eqnarray}$ . Daraus würde ja dann sofort $\begin{eqnarray} \dim W_1 = \dim V - \dim U = \dim W_2 \end{eqnarray}$ folgen. Zum Beweis: Sei $\begin{eqnarray} B_u \end{eqnarray}$ eine Basis von U und $\begin{eqnarray} B_w \end{eqnarray}$ eine Basis von W. Man betrachte nun $\begin{eqnarray} B := B_u \cup B_w \end{eqnarray}$ . B ist wegen $\begin{eqnarray} U+W=V \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem von V. Aus $\begin{eqnarray} U \cap V = \{0\} \end{eqnarray}$ kann man folgern, dass B linear unabhängig ist, also sogar eine Basis von V ist. Da $\begin{eqnarray} B_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_w \end{eqnarray}$ offensichtlich disjunkt sind, gilt also $\begin{eqnarray} \dim V = \|B\| = \|B_u\|+\|B_w\| = \dim U + \dim W \end{eqnarray}$ , also die Behauptung. Du musst jetzt nur noch die fehlenden Schritte des Beweises ergänzen.
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04.11.2009, 22:04	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool! Danke für die Hilfe! Bin bei Wikipedia auch auf U+W=V gestoßen aber habe den Gedanken nicht weiter gedacht. Ich werde es noch weiter ausformulieren, warst auf jeden Fall schonmal eine große Hilfe.

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