Fakultät Ungleichung

04.11.2009, 17:02

Sabrina38

Fakultät Ungleichung

Hallo,

soll folgende Aufgabe lösen:
Bestimmen sie alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ,die der Gleichung genügen $\begin{eqnarray*} 3^n<n! \end{eqnarray*}$ .

Mein Lösungsweg bisher:

-durch ausprobieren $\begin{eqnarray*} n\geq7 \end{eqnarray*}$

- Induktion

IB:

$\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^7=2187<5040=7! \end{eqnarray*}$

IV:

$\begin{eqnarray*} 3^n<n! \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{n+1}=3*3^n<3*n!<n!*(n+1)=(n+1)! \end{eqnarray*}$ ,da $\begin{eqnarray*} (n+1)\geq8 \end{eqnarray*}$
aus IB und IS folgt........

hoffe mal dies ist soweit richtig.
Gibt es noch einen Weg $\begin{eqnarray*} 3^n<n! \end{eqnarray*}$ direkt nach n aufzulösen?

04.11.2009, 17:07

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Jepp, alles richtig und auch gut aufgeschrieben. Die Aufgabe war übrigens gestern schon mal hier im Forum - wahrscheinlich ein Kommilitone... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sabrina38
Gibt es noch einen Weg $\begin{eqnarray*} 3^n<n! \end{eqnarray*}$ direkt nach n aufzulösen?

Nein, nicht in dem Sinne, der dir vorschwebt.

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