Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen?

04.11.2009, 17:13	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen? Hallo! Wie kann ich die Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to - \infty } F(x)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } F(x)=1 \end{eqnarray}$ Vielen Dank schonmal! Viele Grüsse von Jana
04.11.2009, 18:38	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen? Das ergibt sich unmittelbar aus der Definition. Wie ist denn die Verteilungsfunktion definiert? $\begin{eqnarray} F_X(x) = P(X \le x)=P\left(\lbrace\omega\in\Omega\mid X(\omega )\leq x\rbrace\right),\quad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Man weiss, dass F rechtsseitig stetig ist und dass der linksseitige Limes existiert, ergibt: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow \infty}F_X(x) = P(X \le \infty) = \mu((-\infty, \infty]) = \mu(\mathbb{R})= 1 \end{eqnarray}$ Analog: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}F_X(x) = P(X \le -\infty) = \mu((-\infty, -\infty]) = \mu(\emptyset)= 0 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsmaß. Wenn du willst, schreib stattdessen $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} X(P) \end{eqnarray}$
04.11.2009, 18:53	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen? Vielen Dank!!! Ich kann die Beweise meistens nachvollziehen, aber ich weiss meistens nicht, wo ich ansetzen soll... Viele Grüsse, Jana
04.11.2009, 18:56	Lord ...	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte der Verteilungsfunktion beweisen? Dies folgt eigentlich direkt aus der Definition der Verteilungsfunktion und den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsmaße. $\begin{eqnarray} F(x) := P((- \infty ,x]) \end{eqnarray}$ Mit der Stetigkeit von oben und den Limeseigenschaften folgt: $\begin{eqnarray} lim_{x \to - \infty } F(x) = P(\bigcap_{n \in \mathbb N } ( - /infty ,x - n]) = P(\emptyset) = 0 \end{eqnarray}$ Analog zeigt man die zweite Gleichung mit der Stetigkeit von unten.

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