sinh und cosh Reihenentwicklung

04.11.2009, 18:38

Bakatan

sinh und cosh Reihenentwicklung

Ich hatte eine Aufgabe, bei der in am Ende schließlich zwei unendliche Reihen stehen hatte. Diese habe ich dann ( da die Angabe etwas in der Richtung enthielt ) als die Reihenentwicklungen von sinh(x) und cosh(x) nachgelesen und war dementsprechend fertig.
Nun aber die ( wohl nicht so schwere ) Frage, irgendwie hänge ich aber:
Wie komme ich z.B. von der Definitionen von
$\begin{eqnarray*} \sinh (x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ auf die Reihendarstellung

$\begin{eqnarray*} \sinh (x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich die Definition mit der Reihendarstellung von exp(x) schreibe komme ich zwar auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x)^k}{k!}) \end{eqnarray*}$ aber sonderlich bringt mich das nicht weiter.

04.11.2009, 18:41

tmo

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Da beide Reihen konvergieren, kann man sie zusammenziehen:

Man halt also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k-(-x^k)}{k!} \end{eqnarray*}$

Nun unterscheide man k gerade und k ungerade.

04.11.2009, 19:37

Bakatan

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Zitat:

Nun unterscheide man k gerade und k ungerade.

Danke! Überall hab ich gerade/ungerade Unterscheidungen gemacht, bloß hier hab ich irgendwie überhaupt nicht daran gedacht.
PS: Die Aufgabe war ursprünglich die Herleitung der Fundamentalsysteme von $\begin{eqnarray*} \ddot u (t)+ku(t)=0 \end{eqnarray*}$
Durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} u(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=\omega ² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=-\omega ² \end{eqnarray*}$
( PS: sorry für die Änderung des Summationsindex auf n, Wolfram hatte es mit k, die Aufgabe mit n )

Dazu noch kurz: Kann ich einfach für den Fall $\begin{eqnarray*} k=\omega² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d²}{dt²}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n=-\omega ²\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}t^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n+2}}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-\omega ²a_n}{n!}t^n~\Rightarrow~a_{n+2}=-\omega ²a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2n}=a_0\omega^{2n}(-1)^n~\text{bzw }a_{2n+1}=a_1\omega^{2n}(-1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{also }u(t)=a_0\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\omega^{2n}}{(2n)!}t^{2n}\right) +\frac{a_1}{\omega}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\omega^{2n+1}}{(2n+1)!}t^{2n+1}\right) =a_0\cos (\omega t)+\frac{a_1}{\omega}\sin (\omega t) \end{eqnarray*}$

rechnen? Zu $\begin{eqnarray*} k=-\omega² \end{eqnarray*}$ läuft ja dann komplett analog und man erhält am Ende bloß die Reihendarstellung von $\begin{eqnarray*} a_0\cosh (\omega t)+\frac{a_1}{\omega}\sinh (\omega t) \end{eqnarray*}$
So hab ich es gerechnet, kam aber nie darauf woher die Reihendarstellung von sinh bzw cosh kommt ( bis jetzt Big Laugh

danke nochmal ) und musste es erst jetzt zu Hause nachsehen, dass es wirklich sinh bzw cosh war.

PS: Für mich erneut ein sehr schöner Teil der Mathematik. Ermöglicht mir mehr Verständnis was genau bei gewissen Anfangswerten passiert.

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